第五章 相交线与平行线 章节复习(教学课件)七年级数学下册(人教版)

相交线与平行线章节复习1.进一步熟悉相交线所成的角及其基本结论;2.进一步理解垂线、垂线段的概念及性质，点到直线的距离;3.熟练掌握三线八角(同位角、内错角、同旁内角)，两直线平行的判定及其应用;4.熟练掌握平行线的性质及一些结论，并会应用;5.平移的特征并会应用其解决问题.1.邻补角：形如∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种关系的两个角，互为邻补角.2.对顶角：形如∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.性质：对顶角相等.一、相交线性质：邻补角互补.3.垂直：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.如右图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD，垂足是O；

直线m与直线n垂直，记作：m⊥n；

mn“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.一、相交线垂线的性质1：经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.一、相交线一、相交线两角的位置分别在直线AB，CD的同一方(上方)，并且都在直线EF的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.4.三线八角：两角的位置都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧(∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做内错角.两角的位置都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.同位角、内错角、同旁内角的结构特征：一、相交线1.平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．(在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.)2.表示法：通常用“∥”表示平行，读作“平行于”.如下图中直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD.如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与直线m平行记作l∥m.二、平行线3.可以发现一个基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(平行公理的推论)：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，

∴b∥c.二、平行线判定方法1：同位角相等，两直线平行.判定方法2：内错角相等，两直线平行.判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.4.判定两条直线平行的方法：二、平行线性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：两直线平行，内错角相等.

性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.★命题的定义：判定一件事情的语句，叫做命题。★命题的构成：命题由题设和结论组成。题设是已知项，结论是由已知项推出的事项.★命题的书写形式数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.三、命题、定理、证明★命题的分类真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.★定理的概念：一些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.★证明的概念：一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.三、命题、定理、证明四、平移1.平移的定义：“三要素”一个图形、一个方向、一个距离.2.平移的性质：“四特征”图形的形状和大小不改变；对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等.四、平移3.平移作图的一般步骤：平移作图是平移性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应分四步——定、找、移、连.(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图顺次连接对应点.01相交线的有关概念和性质例1.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（

）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．A．1个

B．2个

C．3个

D．4个B例2.(1)若ED，BF被AB所截，则∠1与____是同位角；(2)若ED,BC被AF所截，则∠2与______是内错角；(3)∠1与∠2是AB和AF被______所截构成的______角；(4)∠B与∠4是_____和_____被BC所截构成的_______角.∠B∠3DE内错同旁内ABAF解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON

＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.例3.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．【1-1】下列各图中的∠1与∠2，__________是同位角.(1)(2)(3)【1-2】已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线m的距离为(

)A．4cm

B．5cm

C．小于2cm

D．不大于2cmD【1-3】如图，按各组角的位置，判断错误的是()A.∠1与∠A是同旁内角B.∠3与∠4是内错角C.∠5与∠6是同旁内角D.∠2与∠5是同位角C【1-4】如图，直线AB,CD相交于点O,若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是____________.OE⊥AB【1-5】如图，直线AB、CD被EF所截，如果内错角∠1和∠2相等，那么同位角∠1和∠4相等吗?同旁内角∠1和∠3互补吗?请说明理由.解:∠1=∠4，∠1和∠3互补.理由如下:∵∠1=∠2，且∠2=∠4(对顶角相等)∴∠1=∠4∵∠2+∠3=180°(邻补角定义)∴∠1+∠3=180°即∠1和∠3互补.

例4.如图，已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE//CF.完善下面的解答过程，并填写理由或数学式:解:∵∠3=∠4(已知),∴AE//_____(________________________).∴∠EDC=∠5(________________________).∴∠5=∠A(已知)，∴∠EDC=______(__________).∴DC//AB(_______________________).∴∠5+∠ABC=180°(________________________)，即∠5+∠2+∠3=180°BC内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等∠A等量代换同位角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行02平行线的性质和判定例4.如图，已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE//CF.完善下面的解答过程，并填写理由或数学式:∵∠1=∠2(已知)，∴∠5+∠1+∠3=180°(_________)，即∠BCF+∠3=180°.∴BE//CF(_________________________).等量代换同旁内角互补，两直线平行例5.如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,则∠A=∠F，为什么?解:∠AGB=∠DGF(对顶角相等)∠AGB=∠EHF(已知)∴∠DGF=∠EHF(等量代换)∵BD//CE(同位角相等，两直线平行)∴∠C=∠ABD(两直线平行，同位角相等)∵∠C=∠D(已知)∴∠D=∠ABD(等量代换)∴AC//DF(内错角相等，两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行，内错角相等)例6.已知直线AB//CD,点M,N分别在直线AB,CD上,点P是平面内一个动点,且满足∠MPN=90°,过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC.(1)如图①,当射线NQ与NM重合,∠QND=50°时，则∠AMP=______;25°F(2)如图②,当射线NQ与NM不重合，∠QND=α时,求∠AMP的度数(用含α的式子表示);解:如图②,过P作PF//AB∵AB//CD∴AB//PF//CD∴∠AMP=∠MPF,∠CNP=∠FPN∴∠MPN=∠AMP+∠PNC∵∠MPN=90°∴∠AMP+∠PNC=90°∵∠PNQ=∠PNC,∠QND=α

(3)请直接写出在点P运动的过程中，∠QND与∠AMP之间的数量关系____________________.

【2-1】如图,AB//EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD=()A.120°B.130°C.140°D.150°【2-2】如图,将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上.若∠1=35°,则∠2的度数为()A.10°B.25°C.30°D.35°CD【2-3】如图，AB//CD，则α,β,γ之间的等量关系为()A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β-

γ=180°D.α+β+

γ=180°C【2-4】如图,AB//CD，AE交CD于点F，点G在AB上，GH⊥BF，垂足为H,∠1=∠2，试说明AE⊥BF.请将下面的解答过程补充完整(填数字式子或理由).解:∵AB//CD(已知)，∴∠1=______(________________________).∵∠1=∠2(已知)，∴_____=______(_________).∴______//_____(_______________________).又∵GH⊥BF，即∠GHB=90°，∴∠AFB=∠GHB=90°(______________________).∴_____⊥_____.两直线平行，内错角相等∠A∠2

∠A等量代换GHAE同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等AEBF【2-5】如图，在三角形ABC中，CD是高，点E,F，G分别在BC，AB，AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系，并说明理由.解:DG//BC.理由如下:∵CD是三角形ABC的高，且EF⊥AB

(已知)∴∠BFE=∠BDC=90°(垂直定义)∴EF//CD(同位角相等，两直线平行)∴∠1=∠BCD(两直线平行，同位角相等)∵∠1=∠2(已知)∴∠BCD=∠2(等量代换)∴DG//BC(内错角相等，两直线平行)例7.指出下列命题的题设和结论，并把(3)写成“如果……，那么……”的形式.

(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；

(2)如果∠1=∠2，2=∠3，那么∠1=∠3；

(3)两直线平行，同位角相等.

解：(1)题设：AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°；(2)题设：∠1=∠2，2=∠3，结论：∠1=∠3；(3)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同位角相等.如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.03命题、定理、证明例8.判断下列命题是真命题还是假命题.(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是对顶角.解：(1)假命题，反例：如图∠1=60°，∠2=120°，∠1与∠2互补，但它们不是邻补角.例8.判断下列命题是真命题还是假命题.(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是对顶角.解：(2)假命题，反例：6能被2整除，但它不能被4整除.(3)假命题，反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.【3-1】有下列语句:①画∠AOB的平分线;②直角都相等;③同旁内角互补吗?④两点确定一条直线.其中命题的个数为()A.1B.2C.3D.4B【3-2】对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a//b;②b//c;③a⊥b;④a//c;⑤a⊥c.以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，组成一个你认为不正确的命题是()A.已知①②,则④B.已知③⑤,则②C.已知②④,则①D.已知①②，则⑤D【3-3】将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.(1)同旁内角互补,两直线平行;(2)同角的补角相等;(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.解:(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等;(3)在同一平面内,如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.例9.如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′.分析：图形平移后的对应点有什么特征？作出点B和点C的对应点B′，C′，能确定三角形A′B′C′吗？解：如图，连接AA′，在l上截取BB′=AA′，则点B′就是点B的对应点.过点B作AA′的平行线l，进一步连接A′B′，B′C′，C′A′就得到平移后的三角形A′B′C′.类似地，作出点C的对应点C′，04图形平移的性质及应用例10.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△ABC；（2）作出中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）在平移过程中，线段AB扫过的面积为

．解：（1）如图所示，△ABC即为所求：（2）如图所示，线段CD即为所求；例10.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次