牛顿迭代法实验

牛顿迭代法实验第一页，共十六页，编辑于2023年，星期一设

x*是方程

f(x)=0的根,x0是x*的近似值.在

x0附近,对函数做局部线性化x0x1x*(n=0,1,2,·····)牛顿迭代格式:第二页，共十六页，编辑于2023年，星期一[X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);Z=X.*exp(-X.^2-Y.^2);pcolor(Z);shadinginterppcolor：用于绘制伪彩色图Shadinginter使图形更精细第三页，共十六页，编辑于2023年，星期一给定初值

z0,产生牛顿迭代数列z0,z1,z2,·········,

zn,

·······Newton迭代法实验方程z3–1=0在复平面上有三个根(n=0,1,·····)令第四页，共十六页，编辑于2023年，星期一考虑正方形区域牛顿迭代法具有局部收敛性，如果z0使迭代收敛。问迭代数列将收敛于何处？取定初值实验将确定初值z0产生的牛顿迭代数列收敛于三个根中哪一个。第五页，共十六页，编辑于2023年，星期一选择区域中规则网格点(x,y)确定迭代初始值z=x+iy进行实验.将导致收敛的初值z分为三类,分别标以不同颜色(例如红、黄、蓝)。绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。

第六页，共十六页，编辑于2023年，星期一——收敛到

z1初值点集合——收敛到

z2初值点集合——收敛到

z3初值点集合图1牛顿迭代法收敛区域第七页，共十六页，编辑于2023年，星期一在复平面内,使牛顿迭代不收敛的初值点集构成了茹利亚集(为纪念法国数学家Julia).图2牛顿迭代法不收敛区域——不收敛初值点集合第八页，共十六页，编辑于2023年，星期一functionp=newton0(z)ifz==0,p=0;return;endforn=1:10p=z-(z^3-1)/(3*z^2);ifabs(p-z)<0.00001,break;endz=p;end牛顿迭代法子程序第九页，共十六页，编辑于2023年，星期一functionA0=Newtonlab(n)ifnargin==0,n=101;endt=linspace(-2,2,n);[x,y]=meshgrid(t);X=roots([1,0,0,-1]);[A0,A1,A2,A3]=Nlab(x,y,X);A=A0+2*A1+3*A2+4*A3;figure(1),pcolor(x,y,A),shadinginterp

figure(2),pcolor(x,y,A0),

shadinginterp

实验绘图主程序第十页，共十六页，编辑于2023年，星期一function[A0,A1,A2,A3]=Nlab(x,y,X);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);Z=x+y*i;[M,N]=size(Z);A0=zeros(M,N);A1=A0;A2=A0;A3=A0;fork1=1:Mfork2=1:Nz=Z(k1,k2);p=newton0(z);%取初值调用牛顿迭代

ifabs(p-r1)<0.01,A1(k1,k2)=1;elseifabs(p-r2)<0.01,A2(k1,k2)=1;elseifabs(p-r3)<0.01,A3(k1,k2)=1;elseA0(k1,k2)=1;%确定不收敛的初始点

endendend调用牛顿迭代程序创建矩阵(照片)第十一页，共十六页，编辑于2023年，星期一[m,n]=size(A0);N=m*n;II=find(A0==1);N0=length(II);II=find(A1==1);N1=length(II);II=find(A2==1);N2=length(II);II=find(A3==1);N3=length(II);formatbankresults=100*[N0,N1,N2,N3]/N利用矩阵统计各区域百分比程序第十二页，共十六页，编辑于2023年，星期一functionprop=Newtonlab2(n)ifnargin==0,n=100;endP=rand(n,2);x=4*P(:,1)-2;y=4*P(:,2)-2;Z=x+i*y;A0=[];A1=[];A2=[];A3=[];X=roots([1,0,0,-1]);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);fork=1:nz=Z(k);p=newton0(z);ifabs(p-r1)<0.01,A1=[A1,1];elseifabs(p-r2)<0.01,A2=[A2,1];elseifabs(p-r3)<0.01,A3=[A3,1];else__________________________________;endendN0=sum(A0);N1=sum(A1);N2=sum(A2);N3=sum(A3)formatbankprop=______________________________________;第十三页，共十六页，编辑于2023年，星期一实验结果表1.规则点不收敛域与收敛域百分比分辨率不收敛域收敛域III收敛域II收敛域I51*516.4230.2630.2633.06101*1016.4830.3030.3032.92201*2016.5230.2730.2732.93表2.随机点不收敛域与收敛域百分比随机点数不收敛域收敛域III收敛域II收敛域I1006.0027.0031.0036.0010007.1029.7029.1034.10100006.1130.8430.0632.99第十四页，共十六页，编辑于2023年，星期一实验结论：方程

z3–1=0在复平面上有三个根取正方形区域内任意点确定复数为牛顿迭代法初值实验结果表明,牛顿迭代法具有局部收敛性。至少有6%的点导致牛顿迭代法不收敛;导致牛顿迭代法收敛的点分布于三个区域;三个区域中分别包含了三个根,初值点接近于根所在位置,必收敛于附近根;在三个区域分界处取初值点,可能导致迭代法不收敛.第十五页，共十六页，编辑于2023年，星期一不敛域敛域III敛域II