数学教案（新教材人教A版强基版）第二章函数必刷小题3基本初等函数

必刷小题3基本初等函数一、单项选择题1．函数f(x)＝eq\f(1,\r(x－1))＋lg(3－x)的定义域为()A．[1,3) B．(1,3)C．(－∞，1)∪[3，＋∞) D．(－∞，1]∪(3，＋∞)答案B解析由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,x－1>0，))解得1<x<3，即函数的定义域为(1,3)．2．(2023·苏州质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x，x≤0，,lgx，x>0，))则f(f(1))等于()A．0B.eq\f(1,10)C．1D．10答案C解析f(f(1))＝f(lg1)＝f(0)＝100＝1.3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)答案C解析令t＝x2＋3≥4，因为y＝2＋log2t在[4，＋∞)上单调递增，所以y≥2＋log24＝4，所以y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为[4，＋∞)．4．函数y＝3－x与y＝log3(－x)的图象可能是()答案C解析函数y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x为R上的减函数，排除A，B选项，函数y＝log3(－x)的定义域为(－∞，0)，内层函数u＝－x为减函数，外层函数y＝log3u为增函数，故函数y＝log3(－x)为(－∞，0)上的减函数，排除D选项．5．已知a＝log3eq\r(2)，b＝e，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b答案B解析a＝log3eq\r(2)<log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，b＝e>e0＝1，c＝＝eq\f(\r(3),3)，故a<c<b.6．(2023·长沙模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝lnx＋eq\f(a,2x)，若f(e)＋f(0)＝－3，e是自然对数的底数，则f(－1)等于()A．eB．2eC．3eD．4e答案D解析依题意得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，因为f(e)＋f(0)＝－3，所以f(e)＝lne＋eq\f(a,2e)＝－3，解得a＝－8e，所以当x>0时，f(x)＝lnx－eq\f(4e,x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln1－\f(4e,1)))＝4e.7．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2a－1x＋3a，x≤2，,－loga2x－3，x>2))是R上的减函数，那么a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))C．[1,6] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))答案A解析因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2a－1x＋3a，x≤2，,－loga2x－3，x>2))是R上的减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,2)≥2，,a>1，,4－22a－1＋3a≥0，))解得eq\f(5,2)≤a≤6.8．已知函数f(x)＝log2(4x＋1)＋ax是偶函数，函数g(x)＝22x＋2－2x＋m·2f(x)的最小值为－3，则实数m的值为()A．3B．－eq\f(5,2)C．－2D.eq\f(4,3)答案B解析因为函数f(x)＝log2(4x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，解得a＝－1，所以f(x)＝log2(4x＋1)－x，所以2f(x)＝＝eq\f(4x＋1,2x)＝2x＋2－x，故函数g(x)＝22x＋2－2x＋m(2x＋2－x)的最小值为－3.令2x＋2－x＝t，则t≥2，故函数g(x)＝22x＋2－2x＋m(2x＋2－x)的最小值为－3，等价于h(t)＝t2＋mt－2(t≥2)的最小值为－3，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)≤2，,h2＝2m＋2＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)>2，,h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)))＝－\f(m2,4)－2＝－3，))解得m＝－eq\f(5,2).二、多项选择题9．已知实数a，b，c满足a>1>b>c>0，则下列说法正确的是()A．aa>bb B．logca<logbaC．logca<ac D．<答案AC解析∵a>1>b>c>0，∴aa>ab>bb，>，故A选项正确，D选项不正确；又logac<logab<0，∴logca>logba，故B选项不正确；∵logca<0，ac>0，∴logca<ac，故C选项正确．10．(2022·龙岩模拟)关于函数f(x)＝lg

eq\f(1＋x,1－x)的说法正确的是()A．定义域为(－1,1) B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数 D．在(0,1)上单调递增答案ACD解析令eq\f(1＋x,1－x)>0⇒eq\f(x＋1,x－1)<0⇒－1<x<1，所以定义域为(－1,1)，故A正确；因为f(－x)＝lg

eq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，即f(x)在定义域上为奇函数，故B错误，C正确；因为y＝eq\f(1＋x,1－x)＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上单调递增，又y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝lg

eq\f(1＋x,1－x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))在(0,1)上单调递增，故D正确．11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，若x1<x2，则()A．当x1＋x2>2时，f(x1)<f(x2)B．当x1＋x2＝2时，f(x1)＝f(x2)C．当x1＋x2>2时，f(x1)>f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系与a有关答案AB解析函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，当x1＋x2＝2时，x1与x2的中点为1.∴f(x1)＝f(x2)，选项B正确；当x1＋x2>2时，x1与x2的中点大于1，又x1<x2，∴点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，∴f(x1)<f(x2)，选项A正确，C错误；显然当a>0时，f(x1)与f(x2)的大小与x1，x2离对称轴的远近有关系，但与a无关，选项D错误．12．已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c，则下列关系可能成立的是()A．a<b<c B．a<c<bC．a<b＝c D．c<b<a答案ABC解析依题意，令2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k，则2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，令y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k，则a，b，c可分别视为函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x的图象与直线y＝－x＋k交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图，观察图象得，当k<1时，a<c<b，当k＝1时，a<b＝c，当k>1时，a<b<c，显然c<b<a不可能，故可能成立的是ABC.三、填空题13.＋－cos

eq\f(4π,3)＝________.答案eq\f(7,3)解析原式＝＋－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,3).14．(2023·南京模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在定义域上单调递增，则f(x)的一个解析式为________．答案f(x)＝lnx(答案不唯一)解析因为y＝lnx的定义域为(0，＋∞)且在定义域上单调递增，所以依题意f(x)的一个解析式可以为f(x)＝lnx.15．若函数f(x)＝a·bx＋c在区间[0，＋∞)上的值域是[－2,1)，则ac＝________.答案－3解析因为x∈[0，＋∞)，f(x)＝a·bx＋c∈[－2,1)，所以0<b<1(因为函数值是有界的)，又f(x)取不到f(x)＝1的值，所以a<0，所以函数f(x)＝a·bx＋c在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(0)＝a＋c＝－2，当x→＋∞时，abx→0，所以c＝1，故a＝－3，所以ac＝－3.16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω(cm)和厚度x(cm)有以下关系：n≤eq\f(2,3)log2eq\f(ω,x).现有一张长边为30cm，厚度为cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，eq\f(ω,x)的最小值为________，该矩形纸最多能对折________次．(参考数值：lg2≈，lg3≈)答案647解析由n≤eq\f(2,3)log2eq\