天津宁河县东棘坨镇中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

天津宁河县东棘坨镇中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的最小正周期和最大值分别为（

）A．

B．

C．，1

D．，参考答案：C2.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足,,则的面积为（

）A

B

C

D参考答案：B略3.已知向量，，若与共线，则=（

）A．1

B．

C．2

D．参考答案：A略4.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0参考答案：C【考点】不等关系与不等式．【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．5.在复平面内，复数对应的点位于（

）（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：D试题分析：，故对应点在第四象限，所以选D.考点：复数的代数运算及几何意义.6.将一个长、宽分别是8，7的铁皮的四角均切去边长为的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，则当这个长方体的对角线最短时，则的值为

（

）A．1

B．2

C．

D．参考答案：C7.函数的定义域是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.执行如右图所示的程序框图，则输出的的值等于（

）（A）13（B）15（C）36（D）49参考答案：D9.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8cm3

B．12cm3

C.cm3

D.cm3参考答案：C10.已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A．+1 B．2 C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是___________.参考答案：略12.若,则的值是

.参考答案：略13.函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于______．参考答案：12略14.已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，，则的零点个数有

个.参考答案：815.在数学实践活动课中，某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中，利用尺规作出其中的实线图案，其步骤如下：（1)取正方形中心O及四边中点M，N，S,T；(2)取线段MN靠近中心O的两个八等分点A，B；(3)过点B作MN的垂线l；(4)在直线l(位于正方形区域内）上任取点C，过C作l的垂线l1(5)作线段AC的垂直平分线l2；(6)标记l1与l2的交点P，如图2所示；……不断重复步骤(4)至(6)直到形成图1中的弧线（Ⅰ）.类似方法作出图1中的其它弧线，则图1中实线围成区域面积为

.参考答案：由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线弧，则实线围成的区域面积为.16.已知数列为等比数列，且，则的值为________________.参考答案：在等比数列中，所以。所以。14.若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋……＋a5（1＋x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=______________。参考答案：480三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？参考答案：考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先利用平面中的知识求出∠ABC=180°﹣45°﹣15°=120°．再利用余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosα，求出对应的时间，根据正弦定理，可得结论．．解答： 解：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5，设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°﹣45°﹣15°=120°

根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosα，即，128t2﹣60t﹣27=0，（4t﹣3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）

∴AC=28×=，BC=20×=15

根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，甲船沿南偏东﹣arcsin的方向，用小时可以追上乙船．

点评：本题主要考查解三角形的实际应用．解决这一类型题目的关键是把文字语言转化为数学符号，用数学公式，定理，公理等知识来解．19.如图,四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.（1）若,求的值;（2）若,证明:.参考答案：(1);(2)见解析.

20.已知定义域为R的函数，是奇函数.(1)求a，b的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.参考答案：(1)2,1；(2).【分析】（1）由定义域为的函数是奇函数．可得，，联立即可解得，并验证即可．（2）由（1）得：．利用在上单调递增，可得在上单调递减．再利用奇偶性可得：对任意的，不等式恒成立?．即可解出．【详解】(1)因为是R上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由知，解得.经检验，当时，，满足题意(2)由(1)知，由上式易知在R上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于．因为是R上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而，解得.【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21.（本小题满分14分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意及时，恒有＜1成立，求实数的取值范围．参考答案：22.已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+b，其中a，b为常数．（1）当a=﹣1时，若函数f（x）在[0，1]上的最小值为，求b的值；（2）讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性；（3）若曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=﹣1时，求出函数的导数，利用函数f（x）在[0，1]上单调递减，推出b的关系式，求解b即可．（2）利用导函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a，求出极值点两个不等实根x1，2=，①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，分别求解a的范围即可．（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1﹣1，推出Q点处的切线方程，化简，得x1+2x2=﹣3a，通过两条切线相互垂直，得到（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．求解x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），然后推出a的范围即可．解答：解：（1）当a=﹣1时，f′（x）=x2﹣2x﹣1，所以函数f（x）在[0，1]上单调递减，…（2分）由f（1）=，即﹣1﹣1+b=，解得b=2．…（4分）（2）f′（x）=x2+2ax﹣1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=﹣a，因为△=4a2+4＞0，f′（x）=0有两个不等实根x1，2=，…（5分）①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，有解得．…（6分）②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，有：f′（a）＜0，或，解得．…（8分）③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，有，解得．综上：当时，f（x）在区间（a，+∞）上是单调增函数；当时，f（x）在区间（a，）上是单调减函数，在区间（，+∞）上是单调增函数当时，f（x）在区间（a，），（，+∞）上是单调增函数，在区间（，）上是单调减函数．…（10）（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1﹣1，又设过P点的切线与曲线y=f（x）相切于点Q（x2，f（x2）），x1≠x2，则Q点处的切线方程为y﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x﹣x2），所以f（x1）﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x1﹣x2），化简，得x1+2x2=﹣3a．…（12分）因为两条切线相互垂直，所以（