2024届河南省豫北地区重点中学高二数学第一学期期末联考试题含解析

2024届河南省豫北地区重点中学高二数学第一学期期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（）A.3 B.2C. D.2．把点随机投入长为，宽为的矩形内，则点与矩形四边的距离均不小于的概率为（）A. B.C. D.3．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.4．已知，，则的最小值为（）A. B.C. D.5．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.6．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（）A. B.C. D.8．已知圆O的半径为5，，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（）A. B.C. D.9．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件10．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（）A.若有最大值，则数列的公差小于0B.若，则使的最大的n为18C.若，，则中最大D.若，，则数列中的最小项是第9项11．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）A. B.C. D.12．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤a2，则该椭圆离心率的取值范围是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线，则的准线方程为______.14．设实数x，y满足，则的最小值为______15．已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程；16．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.18．（12分）已知抛物线C：上有一动点，，过点P作抛物线C的切线交y轴于点Q（1）判断线段PQ的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；（2）过点P作垂线交抛物线C于另一点M，若切线的斜率为k，设的面积为S，求的最小值19．（12分）一位父亲在孩子出生后，每月给小孩测量一次身高，得到前7个月的数据如下表所示．月龄1234567身高（单位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7个月的平均身高；（2）求出身高y关于月龄x的回归直线方程（计算结果精确到整数部分）；（3）利用（2）的结论预测一下8个月的时候小孩的身高参考公式：20．（12分）自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近天内每日接待的顾客人数，将前天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图.组别分组频数频率第组第组第组第组第组合计（1）求、、的值，并估计该快餐店在前天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为，在后天内每日接待的顾客人数的平均数为、方差为，估计这家快餐店这天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.（）21．（12分）求下列函数的导数.（1）；（2）.22．（10分）已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，点P在椭圆C上，若的面积为，求点P的坐标

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】利用抛物线的定义求解.【题目详解】因为点在抛物线上，，解得，利用抛物线的定义知故选：D2、A【解题分析】确定矩形四边的距离均不小于的点构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果.【题目详解】若点与矩形四边的距离均不小于，则其落在如图所示的阴影区域内，所求概率.故选：A.3、B【解题分析】根据代入计算化简即可.【题目详解】故选：B.4、B【解题分析】将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.【题目详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选B.【题目点拨】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.5、A【解题分析】设，根据得，代入椭圆方程即可求得离心率.【题目详解】设椭圆方程，所以，设，所以，所以，在椭圆上，所以，.故选：A6、B【解题分析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围.【题目详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形，即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以，因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于，所以，化简得，，因为，所以，所以，，又，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.7、C【解题分析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.【题目详解】由双曲线，则其渐近线方程为：故选：C8、B【解题分析】可得过点P的最长弦长为直径，最短弦长为过点P的与垂直的弦，分别求出即可得出公差.【题目详解】可得过点P的最长弦长为直径，，最短弦长为过点P的与垂直的弦，，公差.故选：B.9、D【解题分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.【题目详解】由，可得，即，当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要条件.故选：D.10、B【解题分析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，可判断D.【题目详解】对于选项A，∵有最大值，∴等差数列一定有负数项，∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；对于选项B，∵，且，∴，，∴，，则使的最大的n为17，故选项B错误；对于选项C，∵，，∴，，故中最大，故选项C正确；对于选项D，∵，，∴，，故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.故选：B.11、C【解题分析】由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.【题目详解】由底面是正方形，E为的中点，且，根据向量的运算法则，可得.故选：C.12、B【解题分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.【题目详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解题分析】根据抛物线的方程求出的值即得解.【题目详解】解：因为抛物线，所以，所以的准线方程为.故答案为：14、5【解题分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【题目详解】画出可行域和目标函数如图所示：根据平移知，当目标函数经过点时，有最小值为5.故答案为：5.15、（1）；（2）.【解题分析】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案；（2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程.【小问1详解】设C点的坐标为，则由题知，即.【小问2详解】设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程则由题知，即，又，则，所以直线BC方程为.16、【解题分析】根据焦点在轴的双曲线的标准方程的特征可得答案.【题目详解】因为双曲线的焦点在轴上，则，解得.所以的取值范围为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解题分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果【题目详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18、（1）线段的垂直平分线过定点（2）【解题分析】（1）设切线的方程为，并与抛物线方程联立，利用判别式求得点坐标，进而求得点坐标，从而求得线段的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标.（2）结合弦长公式求得的面积，利用基本不等式求得的最小值.【小问1详解】依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于.设直线PQ的方程为，.由消去并化简得，由得，，则，解得，所以，在中，令得，所以，PQ中点为，所以线段PQ的中垂线方程为，即，所以线段的垂直平分线过定点.【小问2详解】由（1）可知，直线PM的方程为，即.由消去并化简得：，所以，而，所以得，，，.所以的面积，所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.19、（1）62；（2）；（3）74.【解题分析】（1）直接利用平均数的计算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回归方程；（3）把x=8代入回归方程即可求出.【小问1详解】小孩前7个月的平均身高为.【小问2详解】(2)设回归直线方程是.由题中的数据可知.，..计算结果精确到整数部分,所以,于是，所以身高y关于月龄x的回归直线方程为.【小问3详解】由(2)知,.当x=8时,y=3×8+50=74,所以预测8个月的时候小孩的身高为74厘米.20、（1），，，平均数为；（2）平均数为，方差为.【解题分析】（1）计算出第组的频数，可求得的值，利用频数、频率和总数的关系可求出的值，求出第组的频率，除以组距可得的值，利用平均数公式可求得该快餐店在前天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）设前天接待的顾客人数分别为、、、，后天接待的顾客人数分别为、、、，利用平均数公式和方差公式可求得结果.【小问1详解】解：由表可知第组的频数为，所以，，，第组的频率为，，前天内每日接待的顾客人数的平均数为：.【小问2详解】解：设前天接待的顾客人数分别为、、、，后天接待的顾客人数分别为、、、，则由（1）知前天