高等数学课程17无穷小比较

第七节

无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小的替换1/13一、无穷小的比较无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况：出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.例如,xx2limx

fi

0xlim

sinx

=

1,x

fi

02limx

fi

0xxx

2

sin

1当x

fi

0时,x,x

2

,sin

x,x

2

sin

1

都是无穷小.xx2

比x

快得多;sin

x与x大致相同;不存在.

不可比.=

0,1x=

lim

sinx

fi

0观察各极限（型）00lim

xx

fi

0

x2x

比x2

慢得多;=

¥

,2/13a记作b

=o(a

)；(1)

如果

lim

b

=

0，称

b

是比

a

高阶的无穷小

,定义:设a

,b是同一过程中的两个无穷小.a(3)

如果

lim

b

=

C

„

0,

称

b

与

a

是同阶的无穷小

;记作

a

~

b

.a特殊地，如果

lim

b

=

1，称

b

与

a

是等价的无穷小

;a(２)

如果

lim

b

=

¥

，称

b

是比

a

低阶的无穷小

;(4)

如果lim

b

=

C

„

0，k

˛

Z

+，称

b

是a

的k

阶的无穷小

.a

k注

若

a/b

fi

C，则

a~Cb.3/13=

0，limxfi

0

3

xx

2\当x

fi

0

时，x2

是比3

x

高阶的无穷小，即

x2

=

o(3

x)

(

x

fi

0)；例1

.ex

-

1x

fi

0例２求limx解limx

fi

0ex

-

1

u

=e

x

-1

limufi

0

ln(1

+

u)x=

1.u1limln(1

+

u)uufi

01=ln

e1=\

当

x

fi

0

时，ln(1

+

x)

~

x，e

x

-

1

~

x.4/13xxfi

0

lim

sin

x

=

1，\

sin

x

~

x

(

x

fi

0).2limx

→

01

-

cos

xx1=

2

.2(x

→

0).∴1-

cos

x

~

1

x2因为常用等价无穷小:当

x

fi

0

时，sin

x

~

tan

x

~

arcsin

x

~

arctan

x

~

ln(1

+

x)

~

x，21

~

ax

(a

≠

0)1

~

x,

1 cos

x

~

1

x2

,(1+

x)aex5/13例3

证明:当x

fi

0时，tan

x

-sin

x为x的三阶无穷小.证limx

fi

0x

3tan

x

-

sin

xx

21 sin

x1

-

cos

x

)=

lim(xfi

0cos

x

x1

lim

sin

x2\tan

x

-sin

x为x的三阶无穷小.x

2lim

1

-

cos

x

=

1

,xfi

0=

limxfi

0xfi

0

cos

x

x证毕6/13x3xfi

0sin

x

-

sin

xsin

x

1xfi

0

cos

x

-

xsocx3=

lim

cos

x

=

lim的主要部分)．(称a

是b定理1

b

与

a

是等价无穷小b

=

a

+

o(a

)证b

~

a

lim

b

=

1a

ab

=

1

+

o(1)b

=a

+o(a

)．证毕意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,当x

fi

0

时,2sin

x

~

x, 1

-

cos

x

~

1

x2

,\

sin

x

=

x

+

o(

x

),1

-

cos

x

=

1

x2

+

o(

x2

),2ln(1

+

x)

=

x

+

o(

x),y

=

1

-

cos

x2y

=

1

x

2nln(1

+

x)

~

x,

n

1

+

x

-

1

~

1

x.nn

1

+

x

-

1

=

1

x

+

o(

x).7/13例4求lim

tan

5

x

-cos

x

+1

.sin

3

xx

fi

0解

tan

5

x

=

5

x

+

o(

x),

sin

3

x

=

3

x

+

o(

x),21

-

cos

x

=

1

x

2

+

o(

x

2

).3

x

+

o(

x)5

x

+

o(

x)

+

1

x2

+

o(

x2

)x

fi

0原式=

lim

2

xx1

o(

x2

)+

2

x

+x3

+

o(

x)o(

x)=

limx

fi

05

+.53=8/13二、等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理)aa

¢设a

~

a

¢,b

~

b

¢,则lim

b

=lim

b

¢.证ab

¢

a

¢

alim

b

=

lim(

bblim

b

lim

a

a

¢

ab

¢a

)

=

lim

ba

¢=

lim

b

.证毕注 可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。9/13例5.xfi

0

1

-

cos

xtan2

2

x求lim解tan

2

x

~

2

x.2当x

fi

0时, 1

-

cos

x

~

1

x2

,1

x

2(2

x

)2\原式=limx

fi

02arc

sin

x=

8.例6.x

fi

0

2(1

-

cos2

x)求lim解=

¥arc

sin

xlim2x

fi

0

2(1

-

cos

x)2arc

sin

x~

x=

limx

fi

0

2(1

-

cos

x)xxfi

0

2sin2

x=

limxsin2

x

~

x2=

limxfi

022xx10/13例7求lim

tan

x

-sin

x

.sin3

2

x0时,

tan

x

~

x

,

sin

x

~

x

.xfi

0错解

当

x

fi解12~x

fi

0

(2

x)3

sin

2

x

~

2

x,

tan

x

-

sin

x

=

tan

x(1

-

cos

x)3x

,x

fi

0

(2

x)31

x3\

原式·=

lim

x

-

x

=0.\

原式

=

lim

216=

1

.注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例4中那样利用等价无穷小）.11/13注

对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大替换。12/13lim

ln

cos

axxfi0

ln

cos

bx=

lim

ln(1+

cos

ax

-1)xfi0

ln(1+

cos

bx

-1)=

lim

cos

ax

-1xfi

0

cos

bx

-12=

lim

2

12xfi

0-

1

(ax)2-

(bx)a2=b2x

fi

02x

plim

tan

x

-

sin

x

=

1求常数p

tan

x

-

sin

x

=

tan

x

(1

-

cos

x)

~

x2

2x2

x3=解：21\x

fi

0x

p=

lim

tan

x

-

sin

x2

x

fi

01=

lim

x3-

pp

=

3从而2x

fi

1lim(1

-

x)

tan

p

xu)

=

lim

u

cotufi

02

2p

pu=1-

x=

lim

u

tan(

-ufi

02u

=

limufi

0p=

limufi

0u

cos

u22pp

u2p=2u

cos

u2sin

upp\

1

+

f

(

x)

-

1

~

1

f

(x

)

f

(

x)

fi

0,21

+

f

(

x)

-

13

=

limxfi

022x1

axb=

limxfi

0x21

f

(

x)x2xfi

0=

lim

2

\

a

=

6,

b

=

2.解lim

sin

x

(cos

x

-

b)

=

5xfi

0

ex

-

a求a,

b解lim

sin

x(cos

x

-

b)

=

0(1-

b)

=

0xfi

0lim

sin

x

(cos

x

-

b)

=

5xfi

0

ex

-

axfi

0

xfi

0\

lim(ex

-

a)

=

lim(ex

-

a)

sin

x(cos

x

-b)sin

x(cos

x

-b)(ex

-

a)=

limxfi

0

sin

x(cos

x

-b)sin

x(cos

x

-b)

=15·0

=

0a

=1故5

=

lim

sin

x

(cos

x

-

b)=1-

bxfi

0

ex

-1由得b

=-4证明x

fi

¥1/

b

(

x

)lim{1

+

a

(

x)}1/

b

(

x

)

=

lim

eln{1+a

(

x

)}x

fi

¥ln{1+a

(

x

)}b

(

x

)=

lim

ex

fi

¥b

(

x

)=exfi

¥lim

ln{1+a

(

x

)}lim

a

(

x

)=exfi

¥

b

(

x

)=exfi

¥

b

(

x

)a

(

x

)lim

lim=exfi

¥ln{1+a

(

x

)}b

(

x

)x

fi

¥=

lim{1

+

a

(

x)}1/

b

(

x

)

1

=exfi

¥lim

ln{1+a

(

x

)}b

(

x

)三、小结1、无穷小的比较反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度相对的快慢。但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低、同)阶无穷小;

等价无穷小;

无穷小的阶.2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,

注意适用条件.13/13作业习题1-2nfi

¥例

1.

设数列

xn

有界，又lim

yn

=

0，nfi

¥证明：lim

xn

yn

=

0.证：$M

>

0,

"

n,|

xn

|£

M

,"

e

>

0,

$N

,"

n

>

N

,|

yn

|<

e

/

M

,所以n

nM"

e

>

0,

$N

,"

n

>

N

,|

x

y

|<

M

e

=

e,即：lim

xn

yn

=

0.nfi

¥阶段复习.xfi

05、lim

x

2

sin

1

==

.x

-

3x

3

-

3xfi

21、lim一、填空题:.x

-

1xfi

1

32、

lim

x

-

1

=.x

2x

xxfi

¥3、

lim(1

+

1

)(2

-

1

+

1

)

=.5n34、lim

(n

+1)(n

+2)(n

+3)=nfi

¥.=

0xfi

+¥

e

x

+

e

-

xxcos

x6、lim练习题-5321/50=

.4

x

4

-

2

x

2

+

x7、limxfi

023

x

+

2

x(2

x

+

1)50(2

x

-

3)20(3

x

+

2)308、limxfi

¥二、求下列各极限:2

42nnfi

¥1、lim(1

+1

+1

+...+

1

)h(

x

+

h)2

-

x

22、limhfi

03-

)1

-

x

1

-

x

313、lim(xfi

11/23()30=

2

.=2=2x=

-111

12

422n+1nfi

¥1

-

(

1

)2+

+

...

+n

)

=

lim=

21

-

11、lim(1

+nfi

¥4、limxfi

-81

-

x

-

32

+

3

x

=

-2x

+

x

+

x

-

x

)5、lim(xfi

+¥+

1x2

x

-

1xfi

+¥

46、lim=1/2=

05、lim(xfi

+¥x

)

=

lim

( x

+

x

+

x

-

x

)2+

1xfi

+¥x

+

x

+

x

-x

+

x

+

x

+

xxxfi

+¥

xfi

+¥1

+=

lim

( x

+

x

)

=

lim

(

x

)

=

1x

+

x

+

x

+

x x

+

xx1

+xfi

0练习题一、填空题:.xxfi

01、lim

sinw

x

=.xfi

0

sin

3

x2、lim

sin

2

x

=.2

xxfi

¥5、lim

sin

x

=.16、

lim(1

+

x)

x

=xfi

0wxfi

03、lim

arctan

x

=.x4、

lim

x

cot

3

x

=

1/3

.10e2/34xfi

p2、lim(tan

x)tan

2

xxfi

¥x7、

lim(1

+

x

)2

x

=

.xfi

¥x8、

lim(1

-

1

)

x

=

.x

sin

x二、求下列各极限:1、

lim

1

-

cos

2

x

=2xfi

0x

-

axfi

¥3、lim(x

+a

)xe2e-1=

e-1=

e2a-1=

e5、1lim(1

+

2n

+

3n

)

nnfi

¥=3nn2

+

1n

+

14、lim(

)nfi

¥2、lim(tan

x)tan

2

x4xfi

p2tt

=

tan

x

lim(t)1-t

2t

fi

11

2t=

lim[1

+

(t-

1)]t

-1

-(1+t

)t

fi

1=

e-14、lim(nfi

¥)nn2

+

1n

+

1=

lim(nfi

¥)nn2

+

1(n

+

1)2n2

+

1n)2=

lim(nfi

¥(n

+

1)22n)2(n

+

1)2

-

2n=

lim(nfi

¥(n

+

1)n)2(n

+

1)22n=

lim(1

-nfi

¥-(

n+1)2

-2n

n2n

2(

n+1)2(n

+

1)22n=

lim(1

-nfi

¥)=

e-11lim(1

+

2n

+

3n

)nnfi

¥5、113

32nn

1n(=

lim

3nfi

¥n

+

n

+

1)n=

3

lim(1

+nfi

¥31)nn2n

+

1=

3

·10

=

3三、利用极限存在准则证明数列2, 2

+2, 2

+2

+2,......的极限存在，并求出该极限.证

易知

xn

+1>

xn

,

\

{xn

}是单调递增的

;又

x1

=

2

<

2,

假定

xk

<

2

xk

+1

=2

+

xk<

2

+

2n\{x

}是有界的;nfi

¥\lim

xn

存在.n2

+

x

,2n+1n=

2

+

x

,\

x得A2

=2

+A,解得A

=-1,A

=2由xn>0

A‡0,nfi

¥\

lim

xn

=

2.nfi

¥记lim

xn

=A.

xn+1

=<

2,一、填空题：xfi

0

sin

2

x1、lim

tan

3

x

=.2、limmarcsin

xnxfi

0(sin

x)=

.3、lim

ln(1

+2

x)=xxfi

0.4、limx

2

arctan

x1

+

x

sin

x

-

1=xfi

0.nfi

¥5、lim

2n

sin

x

=.2n16、lim

(1

+ax)n

-1=xxfi

0.练习题a(a

>

0)7、