《概率论与数理统计》课件第六章 样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布§6.1随机样本§6.2抽样分布100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：1.估计这批合金材料的强度均值是多少?(参数的点估计问题）2.强度均值在什么范围内？(参数的区间估计问题）3.若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这批材料是否合格？(参数的假设检验问题）引例某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。下面首先引入一些数理统计中的基础知识.一、总体二、样本§6.1随机样本01研究对象的某项数量指标值的全体称为总体.01总体中每个研究对象(元素)称为个体(样品).02一个统计问题总有它明确的研究对象.03例如：测试矿大全体男生的身高.04一、总体01总体02有限总体03无限总体04总体可以用一个随机变量X及其分布来描述.05此总体就可以用随机变量X或其分布函数06例如，研究某批灯泡的寿命时，07这批灯泡中每个08灯泡的寿命是我们所关心的指标.09表示.样本在总体中抽取的部分个体.样本容量样本中所含个体的数目n.定义为了准确地进行判断，对抽样有所要求：代表性：样本的每个分量与总体X有相同的分布函数；独立性：为相互独立的随机变量，满足以上条件的样本称为来自总体X的容量为n的一个简单随机样本（简称样本）.二、样本称为样本值.01联合分布函数为02联合概率密度为03样本的一次具体实现010203统计量的定义及常用的统计量几种常用的分布正态总体统计量的分布6.2抽样分布的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些合适的依赖于样本它是完全由样本决定的量.息集中起来.一、统计量的定义及常用的统计量是来自总体X的一个样本，01为一实值连续函数，02其不包含任何03未知参数，则称04为一个统计量.05为06的观测值.07注：08仍为随机变量.09是一个数.10定义1设01020304050607080910例如总体是一个样本，则均为统计量.均不是统计量；当未知时，当已知时，其为统计量.对于样本函数几种常用的统计量1.样本均值2.样本方差设是来自总体X的一个样本，它反映了总体X取值的平均值的信息，常用来估计EX3.样本标准差01020304样本k阶原点矩它反映了总体k阶矩的信息。样本k阶中心矩它反映了总体k阶矩的信息。可见05它们的观察值分别为：统计量是样本的函数，它是一个随机变量.证由于是独立同分布的随机变量，且例1设总体X的数学期望为其样本为0102下面介绍几种常用的统计量的分布统计量的分布称为抽样分布。记为01定义设02相互独立,都服从标准正态03分布N(0,1),则称随机变量：04所服从的分布为自由度为n的05分布.06分布0708几种常用的分布09来定义.01通过积分02其中伽玛函数03分布的概率密度为分布的概率密度相互独立,都服从01则0203正态分布04证明因为05所以06又X1,X2,…,Xn相互独立，07也是相互独立的。082.性质且X1,X2相01这个性质叫分布的可加性.02设且X1,X2相03互独立，则这个性质叫分布的可加性.04若01.证明01.所以01.则可以求得，E(X)=n,D(X)=2n称满足条件定义对于给定的正数的点为的上分位点.231页查表3.c2分布的分位点Y～则称变量相互独立，t分布,且X与Y1.定义:设X～N(0,1),所服从的分布为自由度为n的t分布.记为T～t(n).t(n)分布的概率密度为t分布的概率密度关于x=0对称.当n充分大时，其图形类似于标准正态分布概率密度的图形.（1）具有自由度为n的t分布的随机变量T的（2）t分布的概率密度关于x=0对称2.性质E(t)=0;D(t)=n/(n-2),对n>2.数学期望和方差为当n充分大时，其图形类似于标准正态分布概率密度的图形.（138页）但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.称满足条件定义对于给定的正数的点为分布的上分位点.性质：例0102030405（3）t分布的分位点0因为由图可知所以查表可得故则称点为标准正态分布的上α分位点.，若满足条件定义设定义设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，F分布记作F~F(n1,n2).即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.(2)X的数学期望为:若n2>2(1)由定义可见，~F(n2,n1)2.性质若n2>4对于给定的正数01称满足条件02分位点.03分布的上04的点05为06(3)F分布的分位点证设01由定义02P1又因为P2故统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！！01单正态总体的抽样分布02定理103设X1,X2,…,Xn是取自正态总体04的样本，05分别为样本均值和样本方差，则有06070809相互独立10正态总体的抽样分布证：因为独立，所以也独立，只证明结论(1)，结论(2)，(3)见第六章附录.定理2设总体X服从正态分布01是X的样本，02分别为样本均值和样本方差，则有030405证因为06是样本07的线性组合，08故09，标准化后可得10相互独立，所以贰又因为壹也相互独立.由t分布的定义得叁2.双正态总体的抽样分布定理3设X1,X2,…,Xn1与Y1,Y2,…,Yn2分别是来自正态总体的样本，并且这两个样本相互独立，记则有⑴01当02时03其中证(1)因为1且相互独立,于是2证⑵当总体样本统计量描述作出推断随机抽样这一讲，我们介绍了数理统计的基本概念.熟记内容，灵活应用！其样本为试求统计量服从什么分布？解由已知得所以例1设总体X,Y相互独立01，其样本为02解由已知得03所以04故例2设总体X服从正态分布01例3已知总体X服从自由度为n的t分布，求证：02解由已知得03其中04故05所以06还能得01，其样本为02解由已知得03，得例4设总体X服从正态分布010203解由已知得，其样