理论力学B(1)幻灯片

第一篇运动学运动学----从几何角度研究物体的运动规律，如点的运动方程（轨迹）、速度、加速度，刚体的转动方程，角速度、角加速度等一、几个重要概念1.参考空间（参照系）参考空间常与某物体（参照物）固连，参照物——有限大，参考空间——无限大描述物体的运动必须指明相对于哪个参考空间但参考空间参照物理论力学B(1)动系svyx定系参考系与运动描述2.坐标系在参考空间中选定，如直角坐标系、柱坐标系、球坐标系、自然轴系等。理论力学B(1)3.运动的描述运动学----根据已知的运动学量求其他的运动学量（1）矢量法----在参考空间中选定原点，描述物体任意时刻的矢径简单、直观，矢量方程，结论只与参考空间有关（2）分析法----建立坐标系，描述物体任意时刻的坐标复杂，便于上机，标量方程，结论依赖于坐标系由运动方程(含时间)或运动轨迹(不含时间)描述。——任意时刻物体中任意质点的空间位置理论力学B(1)理论力学B(1)§1.1约束§1.2广义坐标与自由度§1.3点的一般运动及其描述§1.4刚体运动的分类§1.5刚体的基本运动及其描述§1运动学基础理论力学B(1)对于一个系统的运动如何描述？§1运动学基础理论力学B(1)理论力学B(1)理论力学B(1)理论力学B(1)理论力学B(1)理论力学B(1)§1.1约束

约束是指物体的运动所受到的几何限制条件。自由物体----运动不受其他物体限制非自由物体----运动受到周围物体限制几种典型的约束（1）柔绳约束，刚性杆约束§1运动学基础理论力学B(1)(2)光滑面约束理论力学B(1)（3）光滑圆柱铰链约束(4)光滑球铰链约束BAC理论力学B(1)（5）固定铰支座理论力学B(1)（6）活动铰支座理论力学B(1)(7)固定端（固支端）约束理论力学B(1)§1.2广义坐标与自由度自由度

S——广义坐标的个数广义坐标qi——确定物体在参考空间中位置的一组独立的几何参数系统中各质点的空间位置是qi的函数，系统中各质点的速度是qi和的函数，系统中各质点的加速度是qi、和的函数理论力学B(1)

空间运动

平面运动

质点

自由

S=3S=2

非自由S<3S<2

质点系n个质点

自由S=3nS=2n

非自由S<3nS<2n刚体无穷多质点

自由S=6S=3

非自由S<6S<3研究对象运动形式不同研究对象、运动形式与自由度理论力学B(1)（1）杆AB，在杆所在的平面内作平面运动AB(xA,yA)S=3广义坐标：xA,yA,（2）对杆的平面运动加以约束S=1广义坐标：S=1广义坐标：例1.1分析以下各系统的自由度，并选择一组广义坐标。理论力学B(1)（4）刚体系统S=2广义坐标：，（3）S=0结构理论力学B(1)(5)mm为质点S=1A为圆轮S=2A广义坐标：广义坐标：，理论力学B(1)行星轮机构S=1理论力学B(1)活塞连杆机构S=1理论力学B(1)四连杆机构S=2理论力学B(1)讲授过的几个重要概念；参考空间（参照系）约束广义坐标自由度解析法；矢量法理论力学B(1)二、关于矢量代数、矢量分析的复习（附录I）针对自由矢量（可在空间中自由移动）的常用规则1.矢量的表示（1）符号

大小（模）方向方位（作用线）指向（2）图示（3）矢量相等模相等a=b方位、指向相同理论力学B(1)（4）负矢量方位相同，指向相反（5）单位矢量2.矢量代数（1）加减法（矢量和）平行四边形法则三角形法则理论力学B(1)(2)数乘（3）矢量的分解

（分解不惟一）（4）点积（内积，标积）（6）混合积：三个矢量的运算，其结果为标量，记为（5）叉积（外积，矢积）理论力学B(1)（7）矢量的投影为l方向的单位矢量在自身方向上的投影当指向已知时a>0当指向未知时假设的指向为a>0假设方向对a<0与假设方向相反（8）若理论力学B(1)（9）注意区别：矢量的投影与矢量分解的分量若沿正交轴分解若沿斜交轴分解12a1a2则投影不等于分量的大小则投影等于分量的大小123a2a1a3理论力学B(1)（10）本课程中矢量的表示方法矢量：大小，方位，指向完全已知图示方向、指向，写出大小F=10kN已知方位，未知指向和大小图示方位，任意假设指向求出结果若F>0，则假方向设正确，若F<0，则与假设方向相反F>0F<0完全未知建立坐标系xyz，分解为则

为已知方位，未知指向和大小理论力学B(1)3.矢量分析运动学中，常有矢量函数(1)矢量的导数（2）矢量的微分，常矢量

（3）矢量微分的运算规则，若若则理论力学B(1)§1.3点的一般运动及其描述一、点的运动的矢量描述，矢量法研究对象：点M，选定参考空间及一参考点OM点的运动方程（1.1）点的运动轨迹----的矢端图1.点的运动方程2.点的速度、加速度速度（1.2）速度大小：，速度方向：沿轨迹切线，指向运动方向理论力学B(1)加速度

（1.3）加速度大小

加速度方向：速度矢端图的切线方向注意：

都与参考空间有关二、点的运动的坐标描述，分析法选定参考空间，建立坐标系（直角坐标系或其他）运动方程运动轨迹x=x(t)y=y(t)(1.4）

z=z(t)平面运动理论力学B(1)M为非自由质点，S=2，可选择广义坐标(t),(t)x=x((t),(t))y=y((t),(t))(1.5)z=z((t),(t))OAB速度

(1.6)加速度

(1.7)M理论力学B(1)矢量法与分析法的关系位置：（1.8）速度：（1.9）加速度：（1.10）三、建立点的运动方程的方法（1）建立坐标系，明确研究对象，自由度，选定广义坐标（多数选题中已给定随时间变化规律的几何参数）。（2）将点的坐标表示为广义坐标的函数，并将广义坐标随时间变化的规律代入。（3）进一步，由运动方程求导可求速度、加速度。理论力学B(1)例1.2解：研究对象为小环M（质点）M的自由度为1，选广义坐标为（1）将参考空间与大圆环固连，建立坐标系Oxy运动方程xM=OMcos=2Rcos

cos=R(1+cos2t)

yM=OMsin=2Rcossin=Rsin2t相对于大圆环的速度OO1xyx’y’BM

小环M同时套在直杆OB和大圆环（半径为R）上，大圆环固定不动，直杆绕O轴定轴转动，t

,分别求小环相对于大圆环和直杆的速度、加速度。理论力学B(1)相对于大圆环的加速度小环相对于大圆环：相对于大圆环的速度OO1xyx’y’BM理论力学B(1)相对于直杆的加速度小环相对于直杆：相对于直杆的速度（2)将参考空间与直杆固连，建立坐标系Ox’y’运动方程OO1xyx’y’BM理论力学B(1)小环相对于直杆：OO1xyx’y’MB2=2t小环相对于大圆环理论力学B(1)例3绳的一端连在小车的A点上另一端跨过B点的小滑轮绕在鼓轮C上，滑轮离地的高度为h。若小车以匀速度v沿着水平方向向右运动，求当时B、C之间绳上一点P的速度和加速度。hPθCAB理论力学B(1)几何关系：对时间求导解：以θ为广义坐标hPθCABl理论力学B(1)§1.4自然轴系（弧坐标系）当点M在一条已知曲线上运动时，常选择该曲线作为自然坐标轴描述M的运动。一、自然轴系的建立，运动方程，运动轨迹设已知点M的运动轨迹为空间曲线，其方程为f1(x,y,z)=0f2(x,y,z)=0

(1.11）选择曲线上的弧长S为广义坐标：任选曲线上一点O1为原点，规定O1一侧的弧长为正，另一侧弧长为负。O1S(+)S(-)MS点的运动方程

S=S(t)(1.12)理论力学B(1)空间曲线的密切面理论力学B(1)二、关于曲线几何性质的预备知识设空间曲线上任意一点P1.切线PT:单位矢，正向为S正向（1.13）2.法平面：过P点垂直于切线的平面3.密切面：过P点的切线PT，且与法平面垂直4.主法线PN：密切面与法平面的交线，单位矢，正向为指向曲线曲率中心

即P点的弧段ds所在平面，对平面曲线，密切面就是曲线ds所在的平面。构成P点的自然轴系基矢从切面5.副法线PB：垂直于PT与PN，单位矢为，(1.14)理论力学B(1)注意：自然轴系基矢量

大小不变，但方向随S变化理论力学B(1)可视为切线绕副法线的转角6.曲率曲率----曲线在P点处无限小弧段ds(位于密切面内)的弯曲程度(1.15)曲率半径（1.16）

理论力学B(1)(1.18)三、点的速度、加速度在自然轴系中的投影点的运动方程

S=S(t)点的速度

(1.19)(1.20)

理论力学B(1)点的加速度(1.21)(1.18)曲率半径（1.16）理论力学B(1)点的加速度(1.21)(1.22)沿该点切线方向沿该点主法线方向位于该点密切面内切向加速度全加速度法向加速度理论力学B(1)理论力学B(1)若已知v(t),a(t),则四、其他坐标系

柱坐标、球坐标、极坐标（参见教科书）全加速度的大小方向为全加速度矢量与主法向的夹角理论力学B(1)例1.3同例1.2，试求小环的速度、加速度在自然轴系中的投影。已知

（1）t(2)

Asint1）当t运动方程S(t)=M0M=2R=2Rt速度

方向如图加速度

方向如图OO1xyMB解：小环相对于固定参考空间的轨迹为大圆环，取t=0时小环的位置M0为原点，逆时针方向S为正。M0理论力学B(1)OO1xyMB2)当AsintS(t)