不等式 全国一等奖

第十六章选考部分考纲分解解读

1.坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2.参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.备考方略

参数方程和极坐标作为选考内容，在整个高中的平面解析几何中要求较低，课时分配较少，在高考题中所占的比重不大.试题内容涉及参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程以及它们在解题中的应用等.由于该内容在高考试题的特殊位置，仅以填空题的形式出现，估计参数方程和极坐标问题各有一空，一般内容为容易题和中等题，以考查基础知识、基本能力、基本运算为主，突出体现参数思想，在选择参数、建立关于参数的函数关系式、消参等环节上面，需要有较强的技巧.至于综合性方面，主要体现在与其他内容的联系，展示坐标法的优越性，以此作为应用直角坐标系和普通方程的延伸和发展、补充和提高.坐标系是解析几何的基础.在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形.为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系.极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便.学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变.本讲是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化.极坐标系和参数方程是本讲的重点内容，对于柱坐标系、球坐标系等只作简单了解.通过对本讲的复习，考生将掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力.由于三角函数图象的各种变换内容与这部分知识交汇，所以应该加强三角函数图像变换的理解与应用，另外参数法是求轨迹方程的重要方法，加强参数法解决数学问题教学，让学生体会参数法的特点，培养应用参数法解题的意识，体验应用不同坐标系解决实际问题的高效性.由于极坐标系高等数学的必备数学基础知识，估计在今后的高考题中极坐标系也一定会有所体现．另外，在直角坐标系中，三角函数图象的各种变换也是历年高考的热点之一.根据这一特点，我们复习时应突出坐标法思想的领会和训练，加强数学思想方法的复习.加强等价转换与化归思想的训练，坐标系的复习应着重理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同.同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式.因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式.参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化实际就是一个等价转化的过程，通过等价转化，既可考查考生的基础知识，又可考查考生分析问题和解决问题的能力.加强数形结合思想的复习和训练，解析几何研究的根本方向是坐标化思想，即几何问题代数化，寻求几何特征与代数特征的有机结合是很自然的事情.加强数形结合思想的复习和训练，解析几何研究的根本方向是坐标化思想，即几何问题代数化，寻求几何特征与代数特征的有机结合是很自然的事情.加强函数与方程思想的应用，求轨迹方程比较集中地反映了方程思想的应用，在有关参数的问题情境中，找出形成轨迹的动点与已知条件的内在联系，选择恰当的坐标系和自变量，进而得出准确的方程，这一过程完整地展示了方程思想.根据2010年高考所命本专题的选做题来看，题目难度均为中等或容易题.预计2011年高考题中的选做题仍然是中等或容易题，因此在复习过程中，应该以课本知识为基础，只要注意理解专题内容中的基本概念、定理、公式，以及掌握基本的解题方法即可，不要刻意加大难度，不宜钻的得过深、过难，避免浪费许多时间和精力.但由于是容易题或中等题，应该志在必得.第一节坐标系课前自主学案

知识梳理

1各种坐标系的定义（1）平面直角坐标系在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点．取定长度单位，则平面上任一点M的位置可用下面的方法确定：如下图所示，由点M向x轴和y轴分别作垂线，点P和点Q分别是它们的垂足，即P为点M在x轴上的投影点，Q为点M在y轴上的投影点．设x为点P在x轴上的坐标，y为点Q在y轴上的坐标，则点M的位置可以用有序数对(x,y)来表示，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy，有序数组（x，y）为点M的坐标．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．也就是说，在给定坐标系下，平面上的任一点唯一地确定一对有序实数．反之，任意给定一对有序实数，它也唯一地确定平面上的一个点．（2）极坐标系如右图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系.设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极径Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而极坐标系中，对于给定的有序数对（ρ,θ），可以确定平面上的一点．但是平面内的一点的极坐标，却不是惟一的.一般地，若（ρ,θ）是点M的极坐标，则（ρ,θ+2kπ）（k∈Z）也都是点M的极坐标，总之点M（ρ,θ）的极坐标可以有(ρ,θ+2kπ)(k∈Z).当规定ρ＞0，0≤θ＜2π以后，平面内的点（除极点外）与有序数对就可以一一对应了.（3）柱坐标系一般地，如右图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点.它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)（ρ≥0，0≤θ＜2π）表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)（z∈R）表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z).其中ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为（4）球坐标系一般地，如右图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点.连接|OP|，记|OP|=r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.那么点P的位置可用有序数组(r，φ，θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为

需要说明的是新课标对于柱坐标系以及球坐标系要求很低，只要求有所了解即可.而直角坐标系，极坐标系是重点要掌握的两种坐标系.2极坐标与直角坐标的互化（1）设M是平面内任意一点，它的直角坐标〖JP〗是(x，y)，极坐标是(ρ，θ).从图可以得出它们之间的关系：这就是极坐标与直角坐标的互化公式（2）空间点P的直角坐标（x,y,z）与柱坐标（ρ,θ,z）之间的变换公式为:柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的（3）空间点P的直角坐标（x,y,z）与球坐标（r,φ,θ）之间的变换关系为（4）平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.基础自测

已知点M的极坐标为，下列所给出的几个极坐标不能表示点M的坐标的是()解析：本题主要考查点的极坐标的多样性.在极坐标系中作出点M，容易得到点不能表示点M.∴选A答案：A2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线,则曲线C的方程是()解析：把伸缩变换公式即得所求曲线C的方程是x2+y2=1.∴选A答案：A3.将点M的直角坐标化成极坐标是_______解析：因为点M在第三象限，所以因此点M的极坐标是答案：4.将点M的极坐标化成直角坐标为_______解析：代入公式计算，得所以，点M的直角坐标是答案：课堂互动探究

将点的直角坐标化为极坐标将点M的直角坐标(3，-3)化成极坐标.分析：本题只需准确记忆公式和熟练进行运算即可.解析：因为点M在第四象限，所以因此，点M的极坐标为点评：本题常见的错误是：

这是因为没有明确点M所处的象限，导致出现增根致错.把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法（极角相差2π的整数倍）.由于极角的多样性，所以在确定点的极坐标时，必须首先确定点所在的象限以便确定极角.一般只要取θ∈［0,2π)就可以了.变式探究

1.将点P的直角坐标化成极坐标是______答案：将点的极坐标化为直角坐标

将点A的极坐标化成直角坐标是_____分析：直接代入直角坐标与极坐标互化公式即得.解析：直角坐标与极坐标互化公式答案：变式探究

2.将点M的极坐标化成直角坐标.解析：代入公式计算将点的柱坐标、球坐标化为直角坐标

（1）已知点P的柱坐标为，则P点的直角坐标是_______（2）空间一点Q的球坐标为，则Q点的直角坐标是_______分析：利用公式解析：（1）利用柱坐标与直角坐标公式的互化得（1,1,5）.（2）利用球坐标与直角坐标公式的互化得答案：（1）（1，1，5）（2）变式探究

3.（1）已知点A的柱坐标是，则它的直角坐标为______（2）已知点B的球坐标是，则它的直角坐标为______解析：答案：图形的伸缩变换问题

求将曲线y=1/2cos4x变为y=cosx的伸缩变换.解析：

点评：求经过伸缩变换后所得到的曲线方程，只需将对应的伸缩变换公式代入原曲线方程即可.变式探究

4.在平面直角坐标系中，求方程x2+y2=1所对应的图形经过伸缩变换后的图形.分析：运用坐标变换公式即可温馨提示

1.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何问