三角函数 名师获奖

鉴江中学于孙潮

CABbca

1.本章内容有锐角三角函数的概念，解直角三角形及解直角三角形的应用。

在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中,并且三角函数值与边无关。

2.锐角α的取值范围及变化情况：

3.特殊角的三角函数值：

4.同一锐角α的三角函数之间的关系：（1）平方关系：sin2α+cos2α=1

5.互余两角的三角函数之间的关系：

6.解直角三角形的依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，除直角C外，其余五个元素之间有以下关系：（1）三边关系：a2+b2=c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（互余关系）（3）边角关系：

解直角三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。

任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值，任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。7.解直角三角形的分类：

例如选用关系式归纳为口诀：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除。

8.

有关解直角三角形的应用题：

应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念：

(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图1。

(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示。坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度，用字母i表示，即，如图2。(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角，如图3中，目标A、B、C的方位角分别为。

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角叫做方向角，如图4中，目标A、B、C、D的方向角分别表示北偏东、南偏东、南偏西、北偏西。又如，东南方向，指的是南偏东角。一.基础题型分析：例1.

分析：

解法二：利用同角的三角函数的关系式。

∵sin2B+cos2B=1

例2.

∴∠A=30°。（2）∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°。解法二：（1）在Rt△ABC中

无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。∴∠A=30°说明：解法一：在Rt△ABC中，如图3。

例3.当45°<α<90°时，下列各式正确的是（）

A.sinα>cosα B.sinα=cosα C.tanα<cotα D.tanα<1

分析：如图4，设∠A=α，则BC>AC。

解法一：利用三角函数定义。

∴应选A，其余三项也可根据定义证明不成立。

解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小。

∴根据锐角的正弦（切）的增减性可知应选A，其它两项也不成立。解法三：找标准量45°角比较。∵45°<α<90°∴sinα>sin45°，cosα<cos45°

∵sin45°=cos45°∴sinα>cosα，

同理tanα>cotα，∴应选A。

例4.A.等腰非等边三角形 B.等边三角形

C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形分析：

所以∠A=60°，∠B=60°，应选B。

例5.α为锐角，若m>2，下列四个等式中不可能成立的是（）

分析：根据三角函数值的取值范围，有

∴判断可知cosα选项不可能成立，应选B。

例6.

分析：题目涉及到同角α的正余弦的和差，可以考虑应用关系式：

sin2α+cos2α=1解题。

注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sinα与cosα的大小。例7.在Rt△ABC中，∠C=90°，a+c=12，b=8，求cosB。

解：

二.综合题型分析：

例8.已知：如图5，△ABC中，∠B=30°，∠ADC=45°，∠ACB=120°，D是BC上一点，若CD=8，求BD的长。A

BDC

(图5)

30°

45°

120°

解法一：过A作AE⊥BC的延长线于E，∵∠ACB=120°，∴∠ACE=60°。

∵∠ADC=45°

∴DE=AE

E

解法二：如图6，过D作DF⊥BC于D，交AB于F。A

BDC

(图6)

30°

45°

120°

F

易证得∠FAD=∠DAC=15°∵FD⊥BC，∠ADC=45°∴∠ADF=∠ADC=45°

在△ADF和△ADC中

∴△ADF≌△ADC∴DF=DC=8

在Rt△BDF中，

例9.如图7，已知MNBE和ABCD都是正方形，MC与AB相交于F，已知sinα=

分析：实质上是已知比值求比值的问题，不过它是特殊的比值问题，因为这里两条线段的比是直角三角形中两条边的比值问题。

锐角，或α是Rt△MNC的锐角，或α是Rt△EMF的一个锐角，这样就有三种解法。求tanβ，从图形直观上看，就是把β放在Rt△AME中，求出AE和ME，或用某个字母x的代数式表示AE和ME即可。

解：在Rt△MNC中，

∴设MN=5x，MC=13x，

则NC=12x。∴ME=MN=NB=5x，BC=NC－NB=7x。

例10.在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=12，求S△ABC。

C

A

（图8）

15°

解法一：如图8，取AB的中点D，连结CD，过C作CE⊥AB于E。

∵AB=12

∴∠A=∠ACD=15°∠CDB=30°在Rt△CDE中，

BED

解法二：如图9，把△ACB沿AC翻折，得到△ACD，

C

A

（图9）

D

则△ACD≌△ACB

∴∠DAC=∠CAB=15°，∠DAB=30°

AD=AB=12过点D作DE⊥AB于E，

∴DE=AD·sin30°=6

BE

例11.如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物的高（结果保留根号）

分析：本题的关键在于（1）DB-CB=100（2）Rt△ABC与Rt△ADB有一条共同的线段AB，因此只要利用Rt△ABC和Rt△ADB分别用AB表示出DB和CB即可列出方程DB-CB=100，问题便可迎刃而解。解：设AB=x例3.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向以26海里/时的速度追赶在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：（1）需几小时才能追上？（点B为追上的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向，（精确到0.1°）

分析：（1）此题可利用于方程来解决，设需t小时追上，然后根据直角三角形三边满足勾股定理来列出一个关于“t”的一元二次方程，从而求出时间t。（2）要求B点的方位角，首先应理解方位角在几何图中的表示方法，然后借助正弦函数值以及计算器来求出B的方位角。

解：设需t小时才能追上。（2）在Rt△AOB中

即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4°。ABO

例5.如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。北AB西C分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。北

C

60°

西BA

D

E

F

解：（1）过B作BD⊥AC于D根据题意得：∠BAC=30°，在Rt△ABD中∴B处会受到影响。（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在Rt△DBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在Rt△BAD中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：

∴该船应在3.8小时内卸完货物。在Rt△ABC中，∠C=90°：⑴已知∠A、c,则a=__________;b=_________。⑵已知∠A、b,则a=__________;c=_________。⑶已知∠A、a，则b=__________;c=_________。⑷已知a、b，则c=__________。⑸