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第一节二次型矩阵合同线性代数6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1一、二次型及其标准形定义称为二次型.（我们仅讨论实二次型）。6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1对二次型二、二次型的矩阵表示6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同16_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1由一个二次型可对应一个对称矩阵A,且A唯一.6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1如二次型用矩阵记号写出来就是6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1作一个阶对称矩阵显然由矩阵A可确定一个二次型：6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1

在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；二次型的标准形与一个对角阵一一对应.反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型。所以二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1解6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1解:6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1例3已知二次型的秩为2，求参数由的秩为2知解之得c＝3解：二次型的矩阵为6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1三、线性变换实二次型的基本问题是研究如何把一个复杂的二次型通过适当的线性变换化为比较简单的标准形,使问题得到简化。线性变换的定义的一个线性变换。线性变换也可记为6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1称为该线性变换的矩阵.其中6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1解:方法一将线性关系直接代入.求新二次型.6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1方法二二次型的矩阵6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1证明:即为对称矩阵.如果对二次型进行满秩变换:6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1说明6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1四、矩阵的合同二次型的矩阵与二次型的矩阵是什么关系?定理2若矩阵合同,则等价,且6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1合同关系具有以下性质:反身性任一阶矩阵A都与它自己合同,即对称性如果方阵合同,则合同.即传递性如果方阵合同,合同,则合同.即6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1注意:矩阵的合同关系是对任意的阶矩阵而言的,并不尽仅仅限于对称矩阵.3.任意一个对称矩阵,都与一个对角矩阵合同.2.矩阵的相似关系与合同关系是不同的.6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1例5设和为实对称矩阵,则由与相似可推出与合同,反之不然.证明:6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1都是实对称矩阵,但对任意可逆矩阵故和不相似.这说明在所给条件下,合同不一定相似.取6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1小结实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对

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