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文档简介

第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

称为这级数的局部和.

级数最前面n项的和和函数2.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.〔4.3〕〔4.4〕二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)阿贝尔介绍

如果级数在收敛,那么对的级数必绝对收敛,满足6如果级数在发散,那么在圆外必发散.7证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一局部的证明请课后完成.[证毕]2.收敛圆与收敛半径10..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.如图:

幂级数的收敛范围是何区域?问题1:例1,级数通项不趋于零,故级数发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.收敛半径R=0级数收敛12例2,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.

例3

求幂级数的收敛范围与收敛半径.解级数的局部和为级数收敛,级数发散.收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,问题1答复：收敛半径R=0

163.收敛半径的求法方法1:比值法方法2:根值法18如果:即注意:存在且不为零.定理中极限(极限不存在),即教材157页例4.520故收敛半径例4求幂级数的收敛半径:解解所以练习求的收敛半径.答案课堂练习试求幂级数的收敛半径.

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.例4求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)定理4.13设幂级数的收敛半径为那么(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)二、

复变幂级数在收敛圆内的性质(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即例6求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以例7求级数的收敛半径与和函数.解例8计算解小结与思考

这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上确定,可以依复数项级数敛散性讨论.思考题答案放映结束，按Esc退出.阿贝尔资料Born:5Aug180

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