演示文稿三重积分的概念与计算

演示文稿三重积分的概念与计算本文档共47页；当前第1页；编辑于星期三\10点54分（优选）三重积分的概念与计算本文档共47页；当前第2页；编辑于星期三\10点54分第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念与计算

第九章本文档共47页；当前第3页；编辑于星期三\10点54分一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:

设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为本文档共47页；当前第4页；编辑于星期三\10点54分定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作本文档共47页；当前第5页；编辑于星期三\10点54分三重积分的性质1.线性性质、单调性、积分估值公式2.区域可加性4.微元法5.对称奇偶性*6.中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,本文档共47页；当前第6页；编辑于星期三\10点54分二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次积分法本文档共47页；当前第7页；编辑于星期三\10点54分方法1.

投影法

(“先一后二”)记作本文档共47页；当前第8页；编辑于星期三\10点54分投影法

三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:适用范围:由平面围成的情况本文档共47页；当前第9页；编辑于星期三\10点54分本文档共47页；当前第10页；编辑于星期三\10点54分其中为三个坐标例.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面本文档共47页；当前第11页；编辑于星期三\10点54分.计算,其中由锥面及平面围成.解：例2.本文档共47页；当前第12页；编辑于星期三\10点54分化为三次积分，由曲面及平面围成.解：如图所以曲面与xOy坐标面交于x轴和y轴.例1.本文档共47页；当前第13页；编辑于星期三\10点54分方法2.截面法

(“先二后一”)本文档共47页；当前第14页；编辑于星期三\10点54分特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况。本文档共47页；当前第15页；编辑于星期三\10点54分其中为三个坐标例3.

计算三重积分所围成的闭区域.面及平面为面上轴，解:如图，：轴和围成的等腰直角三角形.所以

注：此题可用投影法求解．本文档共47页；当前第16页；编辑于星期三\10点54分计算三重积分其中是上半椭球体解：则而原式例4.本文档共47页；当前第17页；编辑于星期三\10点54分例.

计算三重积分解:

用“先二后一”本文档共47页；当前第18页；编辑于星期三\10点54分补充：三重积分对称性：本文档共47页；当前第19页；编辑于星期三\10点54分补充：三重积分对称性：2、奇偶对称性：本文档共47页；当前第20页；编辑于星期三\10点54分解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,球面关于xoy面对称本文档共47页；当前第21页；编辑于星期三\10点54分解本文档共47页；当前第22页；编辑于星期三\10点54分本文档共47页；当前第23页；编辑于星期三\10点54分本文档共47页；当前第24页；编辑于星期三\10点54分1.

将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,本文档共47页；当前第25页；编辑于星期三\10点54分3.设计算提示:利用对称性原式=奇函数本文档共47页；当前第26页；编辑于星期三\10点54分tobecontinue本文档共47页；当前第27页；编辑于星期三\10点54分作业115页3,4,6,12,13本文档共47页；当前第28页；编辑于星期三\10点54分换元法三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:体积元素一一对应雅可比行列式本文档共47页；当前第29页；编辑于星期三\10点54分利用柱坐标计算三重积分就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:本文档共47页；当前第30页；编辑于星期三\10点54分圆柱面本文档共47页；当前第31页；编辑于星期三\10点54分平面半平面本文档共47页；当前第32页；编辑于星期三\10点54分本文档共47页；当前第33页；编辑于星期三\10点54分圆柱面半平面平面本文档共47页；当前第34页；编辑于星期三\10点54分在柱面坐标下本文档共47页；当前第35页；编辑于星期三\10点54分若从小到大边界到边界则有在投影区域上做极坐标变换本文档共47页；当前第36页；编辑于星期三\10点54分例.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=本文档共47页；当前第37页；编辑于星期三\10点54分4.计算其中解:利用对称性本文档共47页；当前第38页；编辑于星期三\10点54分利用球坐标计算三重积分

就称为点M

的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系本文档共47页；当前第39页；编辑于星期三\10点54分球面半平面锥面本文档共47页；当前第40页；编辑于星期三\10点54分在球面坐标系中从小到大，从边界到边界。体积元素为化为三次积分，本文档共47页；当前第41页；编辑于星期三\10点54分求的体积，解：球面方程为在球坐标系下方程为所以例6.本文档共47页；当前第42页；编辑于星期三\10点54分内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;本文档共47页；当前第43页；编辑于星期三\10点54分xzOy图2-3222计算，其中为双曲面，锥面及柱面围成．思考与练习本文档共47页；当前第44页；编辑于星期三\10点54分3.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标本