工程力学-扭转

1扭转

2第12章扭转

(torsion)§12.1

圆轴扭转时的应力分析

12.1.1圆轴扭转时的变形几何关系

12.1.2圆轴扭转时的物理关系

12.1.3圆轴扭转时的力系等效关系

12.1.4圆轴扭转时轴内各点的应力状态§12.2

圆轴扭转时的变形分析§12.3

扭转时材料的力学性能§12.4

圆轴扭转时的强度与刚度计算§12.5

非圆截面杆扭转的概念§12.6

薄壁杆件的自由扭转

12.6.1开口薄壁杆件的自由扭转

12.6.2闭口薄壁杆件的自由扭转§12.7

圆轴的塑性扭转（不要求）

12.7.1屈服扭转和极限扭转

12.7.2残余应力4学时作业12.212.312.712.912.1112.123第12章扭转（torsion）

杆件受外力作用，若横截面只有作用面为横截面的力偶矩这一个内力分量，则杆件发生扭转变形。

传动轴是工程上常见的存在扭转变形的杆件。本章主要内容：(1)圆截面轴的扭转；(2)简单介绍非圆截面杆件的扭转问题。4第12章扭转（torsion）§12.1

圆轴扭转时的应力分析扭矩(torque)扭矩图

圆截面直杆在轴向外力偶矩的作用下产生扭转变形，各横截面上的内力分量只有扭矩，用T表示。

利用静力平衡条件，可求出各横截面上的扭矩，并画出扭矩图。下面讨论各横截面上的应力分布，需要综合变形几何、物理及力系的等效三方面的关系。512.1.1圆轴扭转时的变形几何关系圆轴扭转的平面假定(planeassumption)

变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，其形状大小不变，只是绕轴线刚性地转动了一个角度。这称为圆轴扭转的平面假定。

根据圆轴扭转的平面假定导出的应力和变形计算公式符合实验结果，且与弹性力学的结论一致。。扭转角(angleoftwist)圆轴受扭后，两个端面之间的相对转角为，称为扭转角。6圆轴扭转的变形几何关系扭转角沿轴的变化率对于某一给定的横截面同一横截面上，不同点的切应变，其大小与该点距圆心的半径成正比。式(d)即为圆轴扭转时的变形几何关系。712.1.2物理关系圆轴扭转的应力状态由于圆轴扭转时，圆周线大小形状不变，纵向线长度不变，因而横截面上各点只存在切应变，处于纯剪切应力状态。圆轴扭转时的剪切胡克定律表明：横截面上各点的切应力大小沿半径方向呈线性分布。圆轴表面处切应力最大，而圆心处切应力为零。如图所示。8912.1.3力系等效关系未知量现在考察任一横截面上的分布内力系，应满足的力系等效关系，即横截面上作用线位于该截面内的分布内力系可简化为一个合力偶，其合力偶矩就是该截面上的内力扭矩。无法计算对某一横截面极惯性矩10单位长度扭转角单位：令圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式当时，圆轴横截面最外缘处切应力有最大值令扭转截面系数(sectionmodulusoftorsion)单位：11圆轴扭转时横截面上的切应力公式的适用范围圆截面轴，平面假定

仅适用于实心、空心圆轴及直径变化不大的圆台形轴，且要求轴的变形较小，保证材料处于线弹性范围之内。实心、空心圆截面几何量实心圆轴：空心圆轴：1212.1.4圆轴扭转时轴内各点的应力状态纯剪切应力状态(pureshearstateofstress)13结论：(1)纯剪切应力状态等价于二向等值拉压应力状态；(2)二个非零主应力的方向与圆柱面母线夹角为或；(3)圆轴的横截面和过轴线的纵向截面都是该点的最大切应力作用面；(4)为了控制轴的强度，只需控制横截面上的切应力最大值即可。14§12.2

圆轴扭转时的变形分析

扭转时的变形大小表现为两个横截面之间的相对转角（扭转角）的大小。(2)距离为l的两个横截面之间的相对扭转角为(3)若轴为等直杆，且在长度l范围内扭矩为常数，则(4)若轴为阶梯轴，各段不同，或扭矩T分段为常数，则(1)相邻为dx的两个横截面之间的相对扭转角为15扭转刚度(torsionalrigidity)称为扭转刚度。越大，轴的扭转角越小。扭转角的转向与扭矩T

的转向相同。16§12.3

扭转时材料的力学性能为了判断轴的强度是否足够，必须了解材料在扭转时的力学性能，通过扭转破坏试验得出。圆轴扭转应力公式扭转试验为了使受扭圆轴横截面中各点的扭矩应力尽量处于比较均匀的状态，扭转破坏试验采用薄壁圆管试件在扭转试验机上进行。(1)塑性材料（低碳钢）的扭转试验受扭过程中，线性弹性；屈服（出现纵、横向滑移线）；试件沿横截面破断（被剪段）。17(2)脆性材料（铸铁）的扭转试验受扭过程中，变形很小，没有线弹性和塑性阶段，只有强度极限，最终与轴线约成倾角的螺旋面上破断（拉断）。18§12.4

圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转的强度准则圆轴扭转时的破坏为屈服或断裂，通过扭转破坏试验可以确定各种材料屈服或断裂时的或，统称为扭转极限应力。为了保证圆轴扭转时的强度，应要求轴内各横截面上的最大切应力圆轴扭转的强度条件19圆轴扭转的强度计算(1)计算轴的受力情况，画扭矩图；(2)对于等截面轴，最大扭矩所在的截面为危险截面；危险截面上的危险点为圆轴截面周边上的各点(3)对于变截面轴，最大切应力不一定发生于所在的截面上，这时应该综合考虑，找到的极值。20圆轴扭转的刚度准则工程实际中，大部分的轴类构件还对扭转变形有严格的限制。例如：某些机床轴的扭转角过大会降低加工精度。因此，轴类构件常需进行刚度计算。轴的刚度条件是限制单位长度的扭转角在某个范围内单位长度许用扭转角由轴的工作条件要求而定，例如一般精密机械的轴一般传动轴刚度要求不高的轴单位换算的需要例题21§12.5

非圆截面杆扭转的概念翘曲(warping)实验表明：非圆截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形状，且由平面曲线变为空间曲线。变形后，杆横截面不再保持为平面。这种现象称为翘曲。由于平面假定对非圆截面杆的扭转不适用，因而基于平面假定得到的圆轴扭转切应力及扭转变形公式(12.4)和(12.6)都不能用于非圆截面杆。22自由扭转(freetorsion)非圆截面杆的扭转分为自由扭转和约束扭转。约束扭转(constrainedtorsion)等直杆两端受轴向外力偶矩作用，且翘曲不受任何限制的情况属于自由扭转。(1)杆件各横截面的翘曲程度相同，杆件纵向变形不受限制；(2)横截面上无正应力，只有切应力。等直杆受轴向外力偶矩作用时，受约束条件限制的情况属于约束扭转。(1)杆件纵向变形受到限制，各个横截面的翘曲程度不同；(2)横截面上，存在正应力和切应力。例如：工程上薄壁杆件如槽钢、工字钢等，约束扭转时横截面上有很大的正应力。截面为矩形或椭圆形等实体杆件，约束扭转时引起横截面上的正应力很小。23扭转的应力分布

(1)杆件扭转时，横截面周边上的切应力(2)杆件扭转时，横截面的凸角点处的切应力24矩形截面杆件在扭转时的相关结论

(2)4个角点处切应力为零。矩形截面杆扭转因数，P324表12.1(1)

横截面边缘处切应力方向形成与边界相切的顺流。(3)最大切应力发生于矩形长边的中点处。(4)矩形短边中点处的切应力为矩形截面杆扭转因数，P324表12.1(5)杆两端的相对扭转角为矩形截面杆扭转因数，P324表12.125(6)当时，成为狭长矩形截面此时，沿狭长矩形长边各点切应力实际上变化并不大，与长边中点处的最大切应力数值相似。26§12.6

薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件(thin-walledbar)工程上常用的各种轧制型钢，如工字钢、槽钢及各种形状的空心薄壁管状杆件，都称为薄壁杆件。薄壁杆件的特点：壁厚远小于截面另一方向的尺寸。开口薄壁杆件：闭口薄壁杆件：若截面中线为不封闭的折线或曲线，称为开口薄壁杆件。若截面中线为封闭的折线或曲线，称为闭口薄壁杆件。简单讨论薄壁杆件的自由扭转。只强调概念，开口与闭口的区别，不推导公式2712.6.1开口薄壁杆件的自由扭转

开口薄壁杆件截面可视为若干个狭长矩形组合而成。中线若为曲线，也可展开近似作为狭长矩形处理。设第i部分为的狭长矩形，该部分截面扭转角为，截面的扭矩为，则整个截面的扭转角为整个截面上的扭矩为且故得到开口薄壁杆件自由扭转时扭转角与截面上的扭矩之间的关系28组合截面的扭转刚度开口薄壁杆件截面上的任一个狭长矩形各个长边中点的切应力为在截面中宽度最大的狭长矩形的长边中点达到截面切应力的最大值。29开口薄壁杆件自由扭转的切应力分布：开口薄壁杆件自由扭转的切应力的方向沿截面边缘并与边界相切，形成顺流，例如截面上扭矩为逆时针转向时，3种薄壁杆件横截面周边切应力方向如图所示。对型钢的的修正：实际上，在计算型钢的时，应对式(12.27)加以修正。因为型钢截面上各狭长矩形连接处有圆角，且某些部分并非严格的直线边界。修正公式为修正因数角钢：槽钢：T字钢：工字钢：3012.6.2闭口薄壁杆件的自由扭转只讨论由内、外两条封闭曲线构成的单孔闭口薄壁管。杆件的壁厚为，且沿截面中线s（横截面上沿壁厚方向中点的连线）是可以变化的。(1)对于薄壁管，可以认为截面上沿壁厚方向切应力是均匀的，大小为。(2)沿截面中线每单位长度上的剪力为，且剪力方向与中线相切。但截面上中线位置不同处不同，即。(3)设截面上任意两点a，d处的切应力、厚度分别为和，则利用相距为dx的两个横截面和过a，d两点的两个纵向截面从杆中切取一个分离体abcd，如图所示12.14。(4)自由扭转时横截面上无正应力，利用切应力互等定理，分离体各侧面上的切应力如图所示12.15。(5)ab，cd两个纵向侧面上沿杆轴方向的剪应力分别为(6)31图12.15图12.1432对分离体写出其沿杆轴方向力的平衡方程，有(7)推导中，a，d是