概率论多维随机变量及其分布函数

概率论多维随机变量及其分布函数第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日§3.1二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常用的分布第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日1.定义一、二维随机变量及其分布函数若

E

是一个随机试验，它的样本空间是Ω={e}，设X=X(e)

和Y=Y(e)

是定义在

Ω

上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)

，叫做二维随机向量，或二维随机变量。图示第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日注意事项(1)向量(X,Y)是一个整体,其性质不仅与X

、Y

有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.(2)向量(X,Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点.2.实例实例1

炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.实例2

考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H

和体重W就构成二维随机变量(H,W).第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日3.二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义(2)分布函数的几何意义第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日且有(3)分布函数的性质第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日证某一二元函数是二维随机变量分布函数

该函数具有以上四条性质。可以证明第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日(4)一个重要的公式(X,Y)yxox1x2y1y2(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)则第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日4.

n

维随机变量(2)n维随机变量的联合分布函数(1)定义为联合分布函数.第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日二、二维离散型随机变量1.定义

若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.2.二维离散型随机变量的分布律第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日二维随机变量(X,Y)的联合分布律也可表示为3.联合分布律的性质第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日例1解由乘法公式得第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔,一支红笔例2从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若X、Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)所取的可能值是抽取一支蓝笔,一支红笔第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日综合之所求分布律为第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日4.二维离散型随机变量的联合分布函数一般不好写出！第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日

(X,Y)的可能取值为例3一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.解故(X,Y)的分布律为第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日下面求分布函数.第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日所以(X,Y)

的分布函数为第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日练习解第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日离散型随机变量(X,Y)

的分布函数归纳为说明第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日三、二维连续型随机变量1.定义使得对于任意的x,y有第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日2.性质按定义，概率密度f(x,y)

具有以下性质：

在几何上z=f(x,y)

表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G为底，以曲面

z=f(x,y)为顶的柱体体积第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日例4解第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有例4解第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日例5解x+y=1x=1y=2将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日例6解按性质，用极坐标系计算第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日例6解(2)第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日四、两个常用的分布1.均匀分布设D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布.定义均匀分布几何意义(几何概型)第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日

已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.试求(X,Y)的分布密度及分布函数,例7解D第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日所以(X,Y)的联合分布函数为第三十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日2.二维正态分布若二维随机变量(X,Y)具有概率密度第三十四页，共三十六页，编