2024届江苏省南京市田家炳中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届江苏省南京市田家炳中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.2．在平面区域内随机投入一点P，则点P的坐标满足不等式的概率是（）A. B.C. D.3．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.4．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．方程表示的曲线是A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线6．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（）A. B.C. D.7．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. B.0C.3 D.58．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2C. D.9．已知命题，，则（）A.， B.，C.， D.，10．若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（）A.5 B.C.3 D.3或11．已知双曲线的右焦点为F,双曲线C的右支上有一点P满是(点O为坐标原点),那么双曲线C的离心率为()A. B.C. D.12．下列关于函数及其图象的说法正确的是（）A.B.最小正周期为C.函数图象的对称中心为点D.函数图象的对称轴方程为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.14．数列满足，则_______________.15．已知点是椭圆上任意一点，则点到直线距离的最小值为______16．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程.18．（12分）2021年国务院政府工作报告中指出，扎实做好碳达峰、碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构.汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，若现对CO2排放量超过130g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的均值为乙＝120g/km.（1）求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；（2）若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围.19．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，和分别是和的中点，点在直线上，且.（1）证明：无论取何值，总有；（2）是否存在点，使得平面与平面所成角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.20．（12分）如图，四边形是一块边长为4km正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线的一部分（河流宽度忽略不计），某公司准备投资一个大型矩形游乐场.（1）设，矩形游乐园的面积为，求与之间的函数关系；（2）试求游乐园面积的最大值.21．（12分）已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项（1）求数列与的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围22．（10分）如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为（1）若，，求三棱锥的体积；（2）若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】根据，可求得，然后逐一分析判断各个选项即可得解.【题目详解】解：因为，所以，因为，所以，所以，故A错误；又，所以，所以，所以，故BC错误；所以，故D正确.故选：D.2、A【解题分析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.【题目详解】根据题意作出示意图，如图所示：于，所求概率.故选：A.3、D【解题分析】根据正方体的性质，在直角△中应用等面积法求到直线的距离.【题目详解】由正方体的性质：面，又面，故，直角△中，若到上的高为，∴，而，，，∴.故选：D.4、C【解题分析】∵“”⇒“方程表示焦点在轴上的椭圆”，“方程表示焦点在轴上的椭圆”⇒“”，∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，故选C.5、D【解题分析】由，得2x+3y−1=0或.即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.故选D.点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线在求解方程时要注意变量范围.6、C【解题分析】利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.【题目详解】解：因为展开式的二项式系数之和为，则，所以，令，求得，所以展开式的常数项为.故选：C.7、D【解题分析】先画出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，求出点A的坐标，代入可求得结果【题目详解】不等式组表示的可行域，如图所示由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：D8、B【解题分析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；【题目详解】解：依题意可知、，又且，所以，，，，则，且，即，即，所以离心率.故选：B9、C【解题分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【题目详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，.故选：C.10、C【解题分析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解【题目详解】解：设该等比数列公比为q，∵数列1，a，b，c，9是等比数列，∴，，∴，故，解得，∴故选：C11、D【解题分析】分析焦点三角形即可【题目详解】如图,设左焦点为,因为,所以不妨设,则离心率故选:D12、D【解题分析】化简，利用正弦型函数的性质，依次判断，即可【题目详解】∵∴，A选项错误；的最小正周期为，B选项错误；令，则，故函数图象的对称中心为点，C选项错误；令，则，所以函数图象的对称轴方程为，D选项正确故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解题分析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案【题目详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：.14、【解题分析】利用来求得，进而求得正确答案.【题目详解】，，是数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故答案为：15、【解题分析】求椭圆上平行于的直线方程，利用平行线的距离公式求椭圆上点到直线的最小值.【题目详解】设与椭圆相切，且平行于的直线为，联立椭圆整理可得：，则，∴，又两平行线的距离，∴到直线距离的最小值为.故答案为：.16、【解题分析】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，用向量法求出侧面与底面夹角.【题目详解】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则，，以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系则，，设平面的法向量为，则，令，则，显然平面的法向量为所以，所以侧面与底面的夹角为故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】（1）首先求导函数，计算，接着根据导数的几何意义确定切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可;（2）因为点不在曲线上，所以设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点求解，最后写出切线方程即可.【题目详解】（1）.，.所以曲线在处的切线方程为，即（2）设切点为，则曲线在点处的切线方程为，代入点得，，.所以曲线过点的切线方程为，即.18、（1），600（2）【解题分析】用平均数及方差公式计算即可.用平均值得、之间的关系，再由，解不等式可得解.【小问1详解】甲类品牌汽车的排放量的平均值，甲类品牌汽车的排放量的方差.【小问2详解】由题意知乙类品牌汽车的排放量的平均值＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的排放量的方差，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车的排放量稳定性好，所以，解得.19、（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解题分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算得出，即可得出结论；（2）计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于的方程，即可得出结论.【题目详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，所以，，则，因此，无论取何值，总有；（2），设平面的法向量为，则，取，则，，所以，平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由题意可得，整理可得，，此方程无解，因此，不存在点，使得平面与平面所成的角为.20、（1）（2）【解题分析】（1）首先建立直角坐标系，求出抛物线的方程，利用，求出点的坐标，表示出的面积为即可；（2）利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立直角坐标系，则，设抛物线的方程为，将点代入方程可得，解得，则抛物线方程为，由已知得，则点的纵坐标为，点的横坐标为，则，【小问2详解】，令，解得，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，因此函数时，有最大值，21、（1），；（2）.【解题分析】（1）根据已知条件可得出关于方程，解出的值，可求得的值，即可得出数列与的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得，分析可知数列为单调递增数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.【题目详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，，且是和的等比中项，所以，整理可得，解得或.若，则，可得，不合乎题意；若，则，可得，合乎题意.所以，;；（2）因为，①，②②①得因为，即对恒成立，所以当且，，故数列为单调递增数列，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以，即.综上可得22、（1）（2）【解题分析】（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面积和高，进而求出三棱锥的体积；（2）利用空间基底表达出，结合第一问结论求出，从而求出答案.【小问1详解】取AC的中点F，连接FD，FE，由BC=2，则，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即为二面角的平面角，即，连接DE，作DH⊥FE，因为，所以平面DEF，因为DH平面DEF，所以AC⊥DH，因为，所以DH⊥平面ABC，因为，由