2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3)

理科数学、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={(羽y)举+产=1},B={(%,y)1y=%}，则AIB中元素的个数为A．3 B．2 C．1 D．0.设复数Z满足(1+i)z=2i,则IZI=\o"CurrentDocument"√2A.2 B.T C.22 D.2.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳.(X+y)(2%—y)5的展开式中X3户的系数为()A.-80 B.-40 C.40 D.80\o"CurrentDocument".已知双曲线C:%2—y2=1(〃>0,b>0)的一条渐近线方程为y=—X，且与椭圆a2b2 2%2y2+J=1有公共焦点.则C的方程为()12 3%2y2—————=1

8 10%2 y2———=14 5C.D.X2_y2——15 4X2_y2—— 14 36.设函数f(%)=cos(%+3)，则下列结论错误的是A.f(%)的一个周期为—2兀b.y=f(%)的图像关于直线8兀%=~3-对称兀f(%+兀)的一个零点为%=-6八,、 兀f(%)在(y,兀)单调递减7.执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为5432.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为OA.兀B.3πWD．.等差数列｛a｝的首项为1,公差不为0.若a,0。巴成等比数列，则｛a｝前6项的和为

n 236 nA．-24 B．-3 C．3 D．8.已知椭圆U上十二=1(a〉b〉0)的左、右顶点分别为A,A，且以线段AA为直a2b2 12 12径的圆与直线bx—ay+2ab=0相切，则C的离心率为()a.且3C.D.兀C2兀43313.已知函数f(X)=X2—2X+a(ex-1+eT+1)有唯一零点，则a=()121312A.B.C.D.1.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若uuuruuuruuurAP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为A.3B.2√2c.√5D.2二、填空题：(本题共4小题,每小题5分,共20分)X-y≥0,.若X,y满足约束条件1X+y-2≤0,则Z=3X-4y的最小值为.J≥0.设等比数列｛a｝满足a+a=-1,a-a=-3，则a= .n 12 13 4fX+1,X≤0, 1.设函数f(X)=L 八则满足f(X)+f(X--)>1的X的取值范围是 .[2X,X>0 2.a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60o角时，AB与b成30o角；②当直线AB与a成60o角时，AB与b成60o角；③直线AB与a所成角的最小值为45o；④直线AB与a所成角的最大值为60o.其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（12分）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知SinA+√3CoSA=0,a=2√7,b=2⑴求J（2）设D为BC边上一点，且AD±AC，求△ABD的面积.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温-天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，r的数学期望达到最大值？.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD D是直角三角形.?ABD?CBD,AB=BD.（1）证明：平面ACD^平面ABC； E\ E（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体 /ABCD分成体积相等的两部分.求二面角D-AE-C的余弦×/ B值 a".（12分）已知抛物线C:y2=2%,过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程..(12分)已知函数f(x)=X-1一alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n,(1+-)(1+ɪ)鬃(1―)<m,求m的最2 22 2n小值.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)fx=2+1,在直角坐标系XOy中，直线l的参数方程为1 /+ (t为参数)，直线l的参数方〔y=kt 2fx=一2+m,程为1m(m为参数)，设I与I的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲y=T 12〔k线C.(1)写出C的普通方程：(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：P(CoSθ+Sinθ)-'翔=0,M为13与C的交点，求M的极径.23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)已知函数f(X)=IX+11-1X-21.(1)求不等式f(X)>1的解集；(2)若不等式f(X)>X2-X+m的解集非空，求m的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国3)理科数学参考答案、选择题1.B 2.C 3.A7.D 8.B 9.A、填空题13.-1 14.-84.C 5.B 6.D10.A 11.C 12.A1\o"CurrentDocument"15.(-4,+∞) 16.②③三、解答题17.解：2兀(1)由已知可得tanA=—、,3，所以A=-y2兀在AABC中，由余弦定理得28=4+C2—4Ccos—，即C2+2C—24=0解得c=-6(舍去)，c=4\o"CurrentDocument" 兀 兀(2)由题设可得/CAD=-,所以/BAD=ZBAC-ZCAD=-2 61…，.兀-ABgADgsin一故AABD面积与AACD面积的比值为J 6=12ACgAD又AABC的面积为1X4X2sinZBAC=2√3，所以AABD的面积为七：318.解:(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=*=0∙2，P(X=300)=30=0∙4，P(X=500)=没=0∙4.因此X的分布列为:200300500-072--0^--0^-(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n<500当300≤n≤500时，若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n；若最高气温位于区间［20,25),则Y=6X300+2(n-300)-4n=1200-2n；若最高气温低于20,则Y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n因此匕EY=2nX0∙4+(1200-2n)x0∙4+(800-2n)x0∙2=640-0∙4n当200≤n<300时，若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n；若最高气温低于20,则Y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n因此匕EY=2nX(0∙4+0.4)+(800-2n)X0∙2=160+1∙2n所以n=300时，Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。19.解:(1)由题设可得，AABD=ACBD,从而AD=DC又AACD是直角三角形，所以/ADC=90o取AC的中点0,连结DO,BO,则DO1AC,DO=AO又由于AABC是正三角形，故BO1AC所以/DOB为二面角D—AC—B的平面角在RtAAOB中，BO2+AO2=AB2又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，故/DOB=90o所以平面ACD1平面ABCuuur（2）由题设及（1）知，OAQBQD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为X轴正方uuur向，IOAI为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-町Z，贝U由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的1,从而E到平面ABC的1 31距离为D到平面ABC的距离的2，即E为DB的中点，得E（0,^-,2），故设n=（羽y,Z）是平面DAE的法向量，uuurm∙AC=0, L则1uuur 同理可取m=(0,-1,√3)m∙AE=0, ngn √7则UCoS<n,m>= =——InIImI7所以二面角D-AE-C的余弦值为卫720．解：(1)设A(X,y),B(X,y),l:X=my+211 22[X=my+2,由1C可得y2-2my-4=0，则yy=-4[y2=2X 12又X=呈X=续故XX=3=41 2 2 2 12 4因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1gy2=-4=T，所以OA1OBXX412故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y+y=2m,X+X=m(y+y)+4=2m2+412 12 12故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r={(m2+2)2+m2uuuruuur由于圆M过点P(4，-2)，因此AP.bp=0,故(X-4)(X-4)+(y+2)(y+2)=0，12 12即XX-4(X+X)+yy+2(y+y)+20=012 1 2 12 2 2由(1)可得yy=-4,XX=412 12所以2m2-m-1=0，解得m=1或m=-1当m=1时，直线l的方程为X—y—1=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为√10，圆M的方程为(X—3)2+(y-1)2=101 91当m=-2时，直线l的方程为2X+y-4=0，圆心M的坐标为(1-2)，圆M的,,J85 , ,/ 9、/ 1、 85半径为号，圆M的方程为(X-4)2+(y+2)2=1621．解：(1)f(X)的定义域为(0,+∞)①若a<0，因为f(2)=-2+aln2<0，所以不满足题意;②若a>0，由f(X)=1-a=^—a矢口，当X∈(0,a)时，f'(X)<0；当X∈(a,+∞)XX时，f'(X)>0。所以f(X)在(0,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增。故X=a是f(X)在(0,+∞)的唯一最小值点。由于f(1)=0，所以当且仅当a=1时，f(X)≥0故a=1(2)由(1)知当X∈(1,+∞)时，X-1-lnX>01 11令X=1+丁，得(1+—)<丁，从而2n 2n2n故(1+1)(1+!)…(1+ɪ)<e2 22 2n而(1+1)(1+])(1+ɪ)>2，所以m的最小值为32 22 2322．解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(X-2)；消去参数mt得12的普通方程I:y