第2章 2.5.2 椭圆的几何性质人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义

PAGEPAGE10学习目标

椭圆的几何性质

核心素养根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．2．根据几何条件求出曲线方程，并利点、难点)

通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象，数学运算素养．焦点的位置x焦点的位置x轴上y轴上标准方程a2 b2x2＋y2＝1(a＞b＞0)a2 b2y2＋x2＝1(a＞b＞0)图形对称性xy轴，对称中心(0,0)范围y∈[－b，b]y∈[－a，a]顶点B2(0，b)轴长B1(－b,0)，B2(b,0)短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距焦距|F1F2|＝2c离心率e＝c(0＜e＜1)a[提示] 最大距离：a＋c；最小距离：a－c．[提示] 在方程x2＋y2＝1(a＞b＞0)中的几何意义如图所示即a，a2 b2b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a． ( )a2 b2椭圆上的点到焦点的距离的最小值a－c． ( )椭圆上的离心率e越小，椭圆越圆． ( [答案] (1)×(2)√ (3)√[提示] (1)×椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a．a2 b2√ a＋ca－c．a√ e＝c越小，cba，椭圆就越圆．a椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )A．(－1,0)，(1,0) C．(－6，0)，( 6，0) D．(0，－6)，(0，6)6D[x2＋y2＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．]3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )6A．3

B．3

C．2 D 22 4 2 ．34A[化椭圆方程为标准形式得4a

32．]4 x2 y2．椭圆9＋16＝1的焦点坐标是 ，顶点坐标是 ．(0，± 7) (±3,0)，(0，±4) [由方程x2y2＝1ya2＝

9 16因此焦点坐标为(0，± 7)，顶点坐标为(±3,0)，(0，±4)．]椭圆的几何性质【例1】 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和点的坐标．椭圆的几何性质[思路探究] 化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．[解] 把已知方程化成标准方程可知所以因52 42此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝c＝3，两个焦点a 51 2 1 2 分别是F(－3,0)和F(3,0)，椭圆的四个顶点是A(－5,0)，A(5,0)，B(0，－1 2 1 2 2和B(0,4)．2定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．aba2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．[跟进训练]求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率[解] 将椭圆方程变形x2＋y2＝1，[跟进训练]9 4∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2 5，焦点坐标为F1(－5，0)，a3F2( 5，0)，a3顶点坐标为A1

(0，－2)，B2

(0,2)，离心率e＝c＝5利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：利用几何性质求椭圆的标准方程54x2＋9y2＝365；2倍，且过点(2，－4)．[解] (1)将方程4x2＋9y2＝36化为x2＋y2＝1，9 4可得椭圆焦距为2c＝2 5．又因为离心率e＝5，5即5＝5

5，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20．a若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为x2＋y2＝1；25 20若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为y2＋x2＝1．25 20(2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b．若椭圆焦点在x轴上，设其方程为x2＋y2＝1(a＞b＞0)，a2 b2a＝2b，则有4 16

解得a2＝68，＋ ＝1. b2＝17，a2 b2所以标准方程为x2＋y2＝1．68 17若椭圆焦点在y轴上，设其方程为y2＋x2＝1(a＞b＞0)，a＝2b，则有16 4

a2 b2解得a2＝32， ＋ ＝1， b2＝8.a2 b2所以标准方程为x2＋y2＝1．8 32利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项1用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.3a2b2组a2＝b2＋c2，＝e c等构造方程组加以求解a＝提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.[跟进训练][跟进训练]求适合下列条件的椭圆的标准方程：

4，离心率是5；在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为[解] (1)设椭圆的方程为x2＋y2＝1(a＞b＞0)或y2＋x2＝1(a＞b＞0)．a2 b2 a2 b2由已知得2a＝10，a＝5，e＝c＝4，∴c＝4．a 5∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝1．25 9 9 25(2)依题意可设椭圆方程为x2＋y2＝1(a＞b＞0)．a2 b21 2 1 如图所示，△A为一等腰直角三角形，OFAA的中线高)，1 2 1 1 且OF＝，AA＝2b,2＝61 ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为x2＋y2＝1．18 9求椭圆的离心率[探究问题]求椭圆的离心率a[提示] 根据e＝c，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出的等量关a系．[提示]【例3】 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路探究] 由题设求得A、B点坐标，根据△ABF2是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率．[解] 焦点坐标为

(c,0)．a2 b2 1 2A点坐标为－，b， aB点坐标为－，－b，a．∴|AB|＝2b2a．

a由△ABF2

3 2b2，2×a，即3b2＝2ac，又∵b2＝a2－c2，∴3a2－3c2－2ac＝0，a2得3c＋2c－3＝0，．解得e＝c＝3．a 3

a a[解] 焦点坐标为

(c,0)，a2 b2 1 2设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，B点坐标为－c，， 2 2∵B点在椭圆上，c2 y2∴ ＋0＝1，4a2 4b2解得y2＝4b2－b2c2，0 a2b2c2由△AF1F2为正三角形得4b2－a2＝3c2，c4－8a2c2＋4a4＝0，a4e＝3－1．2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A2点的纵坐标等于短半轴长的3”，求椭圆的离心率．[解]

(c,0)，a2 b2 1 2－，2在椭圆上，．∴c2＋4＝1，解得e＝5．a2 9 3求椭圆离心率的方法aace＝ce＝a

1－b2求解．a2acac的齐次等式关系，然后整理成c的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求a解．a、b．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．e时，注意方程思想的运用．1 x2 y2．椭圆9＋16＝1的离心率( )A．A．41641 14C．3 D．4A [a2＝16，b2＝9，c2＝7e＝c＝a

74．]若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A x2 y2

x2 y2．81＋72＝1x2 y2C．81＋45＝1

B．81＋9＝1D． 1x2 D． 181＋36＝A [由已知得a＝9,2c＝1 2a，∴c＝1a＝3，b2＝a2－c2＝72．3× 3又焦点在x轴上，∴椭圆方程为x2＋y2＝1．]81 72椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值( )A 1．21C．4

B．2D．41C [x2＋my2＝1的标准形式为：x2＋y2＝1．1my2倍，所以1＝4m＝1m 4．]5若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的心率是 ．53 [2a＋2c＝2(2b)a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝3或e＝－1(舍去)．]55 x2 y2．已知椭圆的标准方程为49＝1．(1)求椭圆的长轴长和短轴长；