2023艺术生新高考数学讲义 第33讲 直线方程（学生版+解析版）

第33讲直线方程

【知识点总结】

一、基本概念

斜率与倾斜角

我们把直线y=fcr+A中&的系数4(ksR)叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，其斜率不存在。x

轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角ce[0,;r),规定与x轴平行或重合的直

线的倾斜角为0,倾斜角不是王的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用女表示，即％=tana。

2

当人=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当左>0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随火的增大而增大；

当上<()时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角左随的增大而减小；

二、基本公式

1.尸2(公，为)两点间的距离公式，11="(/一%)2+优一%)2

5

2.[(X],%),//4,%)的直线斜率公式A=——乜=tanaU,^xra丰—■)

/2

3.直线方程的几种形式

(1)点斜式：直线的斜率及存在且过(%,£),y-y0=k(x-xQ)

注：①当&=0时，y=y0：②当人不存在时，x=x0

(2)斜截式：直线的斜率k存在且过(0,份，y=kx+b

(3)两点式：上』=忙3_,不能表示垂直于坐标轴的直线。

力-%%f

注：(x?-%)=(x-/)优-%)可表示经过两点「(/’，。色,为)的所有直线

(4)截距式：工+上=1不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。

ab

(5)一般式：Ax+By+C=(XA2+B2^0),能表示平面上任何一条直线(其中，向量：=(A,8)是这条直

线的一个法向量)

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定.

两直线方程平行垂直

/1:Ax+By+C=0A纥-4吗=0且

]}]+B]B?=0

l2:A2X+B2y+C2=0B1C2-生。尸0

户=丁+)(斜率存在)

l:y=k^x+&k、=心"Aq或

2k售2=T或勺与女2中有一个

/.,X=X...._li.r.X=X^X=%2百工12为0,另一个不存在.

'"（斜率不存在）

l2ix-x2

四、三种距离

1.两点间的距离

22

平面上两点«/，%)，%。2，y2)的距离公式为IP/2\=yl^,-x2)+(yi-y2).

特别地，原点。(0,.0)与任一点尸(x,y)的距离|OP|=y/x2+y2.

2.点到直线的距离

点心(%,打)到直线l-.Ax+By+C=G的距离d=

yJA+8

特别地，若直线为/:尸，"，则点心优,打)到/的距离4=|>n-Xo|港直线为/:)=〃,则点尸。优,打)到I的距离

4=1"I

3.两条平行线间的距离

己知是两条平行线，求44间距离的方法：

(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

Ic-CI

(2)设4-Ax+By+C.=0,/,:+By+C,=0,则(与.之间的距离d='；

>JA-+B2

注:两平行直线方程中,前面对应系数要相等.

【典型例题】

例1.(2022・全国•高三专题练习)直线/经过点A0,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率火的

取值范围是()

A・GTB.卜用

C.J[，+«>]D.(-8,-1)7佶,+8]

例2.(202)全国・高三专题练习(文))设相€??,直线工+冲+1=0恒过定点4,则点4到直线如一丫-2〃?+2=()

的距离的最大值为（）

A.1B.&C.石D.V13

例3.（2022・全国•高三专题练习）己知点3,2）3>0）到直线/:x-y+3=0的距离为1,则。等于（）

A.72B.2-&C.V2-1D.V2+1

例4.（2022•全国•高三专题练习）（多选）设点户（-4,2）,<2（6,-4）,R（12,6）,5（2,12）,则有（）

A.PQ//SRB.PQLPS

C.PS//QSD.PR±QS

例5.（2022.全国•高三专题练习）已知直线4：》-'+3=0,直线/:x-y-l=0,若直线4关于直线/的对称

直线为4,则直线4的方程为-

例6.（2022・上海•高三专题练习）坐标原点（0,0）关于直线“2），+2=0对称的点的坐标是.

例7.（2022・全国•高三专题练习）直线4：3x+4），-7=0与直线/2：6x+8y+2=0之间的距离为.

例8.（2022•全国•高三专题练习）已知两条直线4：〃w+8y+"=0和:2x+冲-1=0,试分别确定机〃的值，

使：

（1）乙与4相交于一点尸

（2）"4且4过点（3,-1）；

（3）4，）且/i在y轴上的截距为T.

例9.（2022・全国•高三专题练习）已知AABC的三个顶点分别为A（-3,0）,8（2,1）,C（-2,3）,BC中点为。

点，求：

（1）8C边所在直线的方程；

（2）BC边上中线AO所在直线的方程；

（3）8C边的垂直平分线的方程.

例10.（2022・全国•高三专题练习）已知直线/经过点P（4,3）,且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交

于点B,O为坐标原点.

（1）若点。到直线/的距离为4,求直线/的方程；

（2）求△048面积的最小值.

【技能提升训练】

一、单选题

1.（2022♦全国•高三专题练习）若图中的直线/I，①，3的斜率分别是配22,好则有（）

B.B<ZI<&2

C.D.攵2Vz3<左1

2.（2022•全国•高三专题练习）已知直线/的方程为X+Gy+4=O,则直线/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（2022・全国•高三专题练习）已知直线/的倾斜角为亍，直线4经过点A（3,2）和8（凡-1）,且直线/与4平

行，则实数。的值为（）

A.0B.1C.6D.0或6

4.（2022♦全国•高三专题练习）若直线〃?的斜率女£（fo,-l）U（l,g]，则直线加的倾斜角的取值范围是（）

713万

B.

7'TU抬

717t

D.

5.（2022・全国•高三专题练习）已知4，",3）,3（2利,加+4）,C（m+l,2）,。（1,0）,且直线AB与C。平行,

则机的值为（）

A.-1B.0C.1D.0或1

6.（2022•全国•高三专题练习）已知两点4-2,4）,8（2,3）,过点尸（1,0）的直线/与线段A8有公共点,

则直线/斜率的取值范围是（

A.（YO,3]UB.(a,3]

-4）D.b8,-gU[3,+<»)

C.--,+=0

7.（2022・全国•高三专题练习）已知点A（l,3）,8（—2,-1）.若直线/：y=A（x-2）+1与线段A8相交，则

）

（

围是

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练习

专题

•高三

•全国

（2022

9.

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专题

•高三

・全国

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