数学归纳法 省赛获奖

第5节数学归纳法(选用)考试要求1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知

识

梳

理1.数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取

时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当

时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.第一个值n0(n0∈N*)n＝k＋12.数学归纳法的框图表示[常用结论与易错提醒]1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.诊

断

自

测1.判断下列说法的正误. (1)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(

) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(

) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(

) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(

)解析对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.答案

C答案D5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.

解析由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.

答案

2k＋16.用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________.

解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除.

答案

2

x2k－y2k能被x＋y整除考点一用数学归纳法证明代数(或三角)等式证明(1)当n＝1时，所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立.规律方法

(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.＝cosx＝等式左边，等式成立.(2)假设当n＝k时等式成立，那么，当n＝k＋1时，有cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＋cos(k＋1)x这就是说，当n＝k＋1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*等式都成立.考点二用数学归纳法证明不等式【例2】

(2019·浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；从而an＝2n－2，n∈N*.所以Sn＝n2－n，n∈N*.由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn).我们用数学归纳法证明.①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立；那么，当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时不等式也成立.规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.所以an＋1－2与an－2同号，考点三归纳——猜想——证明(2)证明①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，规律方法

(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.下面用数学归纳法