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文档简介

题型七几何图形的相关证明及计算类型五构造直角三角形例5如图①，已知△ABC中，∠ABC＝45°，点E为AC上的一点，连接BE，在BC上找一点G，使得AG＝AB，AG交BE于K.(1)若∠ABE＝30°，且∠EBC＝∠GAC,

BK＝4，求AC的长度；(2)如图②，过点A作DA⊥AE交BE于点D，过D、E分别向AB所在的直线作垂线，垂足分别为点M、N，且NE＝AM，若D为BE的中点，证明：DG＝2AG.典例精讲(1)【思维教练】∵AB＝AG，∠ABG＝45°，可得∠BAG＝90°，∵∠ABK＝30°，已知BK，可求AB的值，根据∠AGB、∠GAC可求得∠C，过点A作AH⊥BC，在Rt△AHC中可求得AH的值，即可求得AC长度．【自主作答】(1)解：如解图①中，作AH⊥BG于点H.∵AB＝AG，∠ABC＝45°，∴∠BAG＝90°，在Rt△ABK中，∵∠BAK＝90°，∠ABK＝30°，BK＝4，∴AK＝BK＝2，AB＝＝2，∵AB＝AG，∠BAG＝90°，∴∠ABC＝∠AGB＝45°，∴∠CBE＝∠CAG＝15°，∵∠AGB＝∠C＋∠CAG，∴∠C＝30°，在Rt△AHC中，∵∠AHC＝90°，∠C＝30°，∴AC＝2AH，在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝，∴AC＝2；(2)【思维教练】∵D为BE的中点，可考虑连接EG构造直角三角形，已知DM⊥AB，EN⊥AB，可得一对直角，由AM＝NE，可证△MAD≌△NEA，根据角的等量代换可证△BAD≌△GAE，证明△DGE为等腰直角三角形，表示出DG长度，再在Rt△ADG中，表示出AG长度，即可证明．【自主作答】(2)证明：如解图②，连接EG.

∵DM⊥AB，EN⊥BA，∴∠AMD＝∠N＝∠DAE＝90°，∴∠MAD＋∠NAE＝90°，∴∠NAE＋∠NEA＝90°，∴∠MAD＝∠NEA，在△MAD和△NEA中，，∴△MAD≌△NEA(ASA)，∴AD＝AE，∵∠BAG＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠GAE，在△BAD和△GAE中，，∴△BAD≌△GAE(SAS)，∴BD＝EG＝DE，∠ABD＝∠AGE，∵∠AKB＝∠EKG，∴∠KEG＝∠KAB＝90°，∴△DGE为等腰直角三角形，设AD＝AE＝a，∴∠ADE＝∠EDG＝45°，∴∠ADG＝90°，∴DE＝BD＝EG＝a，DG＝DE＝2a，在Rt△ADG中，AG＝＝a，∴

，∴DG＝2AG.(1)若三角形两条边相等，且一边所对的角为4

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