高中数学知识精要（新）.函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精函数1.映射:AB的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象（B中元素可以无原象)，但原象不一定唯一（A中不同元素在B中可以有相同的象）。如=1\*GB3①设是集合到的映射，下列说法正确的是A、中每一个元素在中必有象B、中每一个元素在中必有原象C、中每一个元素在中的原象是唯一的D、是中所在元素的象的集合(答:A）;=2\*GB3②点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________（答：（2，－1））;=3\＊GB3③若，，，则到的映射有个,到的映射有个，到的函数有个（答:81,64，81）；更一般地：若A中含有m个元素B中含有n个元素，从A到B能建立多少个映射？（）=4\*GB3④设集合,映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有____个（答:12）；=5\*GB3⑤设是集合A到集合B的映射,若B={1,2}，则一定是_____（答：或{1}).2.函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.如=1\＊GB3①已知函数，，那么集合中所含元素的个数有个（答：0或1);=2\*GB3②若函数的定义域、值域都是闭区间,则＝（答：2)3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同，但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数"，那么解析式为，值域为{4，1｝的“天一函数”共有______个（答:9）4。分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。注意分段函数是一个函数,而不是几个函数.在求分段函数的值时,一定首先要判断属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;求分段函数的定义域,先选定所有分段的区间,然后取这些区间的并集所得到的集合就是分段函数的定义域，分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.如=1\*GB3①设函数，则使得的自变量的取值范围是__________（答:）;=2\*GB3②已知，则不等式的解集是________(答：)=3\*GB3③作出分段函数的图像解：根据“零点分段法"去掉绝对值符号,即：=作出图像如图。=4\＊GB3④作出函数的函数图像解：步骤：（1）作出函数y=2x3的图象(2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折(上方部分不变）,即得y=|2x3｜的图象=5\＊GB3⑤作函数y=｜x—2|(x＋1)的图像分析显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难,除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1）当x≥2时，即x—2≥0时，当x＜2时,即x—2＜0时，∴这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出5.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式).如已知为二次函数,且,且f（0）=1，图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式.（答:）（2）代换(配凑）法――已知形如的表达式,求的表达式.如=1\*GB3①已知求的解析式(答:)；=2\＊GB3②若，则函数=_____(答：)；=3\＊GB3③若函数是定义在R上的奇函数,且当时，，那么当时，=________（答:）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即的定义域应是的值域.(3)方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组.如=1\*GB3①已知，求的解析式(答：）；=2\＊GB3②已知是奇函数，是偶函数,且+=,则=__（答：）。（4）分段函数解析式分段求解.如函数在闭区间上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。解:．(5)实际应用问题把长为的铁丝折成矩形，设矩形的一边长为，面积为，求矩形面积与一边长的函数关系式.解:设矩形一边长为,则另一边长为,∴(）．说明：在解决实际问题时，求出函数解析式后,一定要写出定义域。6。求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域,而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数中且，三角形中，最大角,最小角等.如=1\＊GB3①函数的定义域是____(答:)；=2\*GB3②若函数的定义域为R，则_______（答：）；=3\＊GB3③函数的定义域是，，则函数的定义域是_（答：)；（4)设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围;②若的值域是R，求实数的取值范围(答：①；②）（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围.(3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为，求的定义域,相当于当时，求的值域（即的定义域）。如=1\＊GB3①若函数的定义域为，则的定义域为________.（答:);=2\＊GB3②若函数的定义域为，则函数的定义域为________（答：［1，5］）．（4）求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x）是整式,则函数的定义域是实数集R;②若f（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.7。求函数值域（最值）的方法：(1）配方法——二次函数主要有两类:一是求闭区间上的最值;二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题.如=1\＊GB3①求函数的值域（答:[4，8]）；=2\＊GB3②当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）；=3\*GB3③已知的图象过点(2，1）,则的值域为__(答：[2,5］）注：给定区间上的二次函数最值问题的解题步骤(1)配方-找轴（2）判断轴与所给区间的相对位置—确定在所给区间上的单调性（轴的左右单调性不同）（3）画出草图(4）结合草图,利用单调性得出结论。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看"：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。闭区间上的二次函数必有最值，最值在端点处或顶点处取得。（2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数（如），其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如=1\*GB3①的值域为_____(答：）；=2\＊GB3②的值域为_____(答:）（令，.运用换元法时，要特别要注意新元的范围）;=3\＊GB3③的值域为____(答：);=4\＊GB3④的值域为____（答：）；（2）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性.如求函数，，的值域（答：、（0，1）、）；（3）单调性法――利用一次函数，反比例函数,指数函数，对数函数等函数的单调性.如求，，的值域为______（答：、、)；(4）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如=1\＊GB3①已知点在圆上，求及的取值范围（答:、）；=2\*GB3②求函数的值域（答：）；=3\*GB3③求函数及的值域（答：、）注意：求两点距离之和时,要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。（5）函数的值域是自变量X在定义域中取每一个值时，所对应的函数值的集合，也就是对Y在且只在值域中的每一个取值，X在定义域中一定有一个值之对应。这样求函数的值域就是把函数解析式看作关于X的方程后，此方程在定义域内有解的参数Y的取值范围。从而在函数与方程间建立了一种关系“适当条件下可互(但不能解决方程根的个数问题，方程根的个数问题可转化为相应函数图象交点问题(一曲线、一直线，曲线定，直线动）一元二次函数根的个数问题可考虑根的分布来解）由此：=1\＊GB3①y=型的所谓反函数法（也可按分母整理，用反比例函数处理同样处理的有y=）=2\*GB3②y=型的判别式法：第一步，判断分子分母有无公因式;第二步,有时约分化为上面y=型,但要注意定义域改变所引起的后果,无时考察是否自然定义.第三步，自然定义的可考虑判别式法，但注意二次项是否为零，不是的不能简单用判别式法，而应化为在定义域内有解，用根的分布来解.（6）不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列，成等比数列,则的取值范围是____________。(答：）。（7）导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数，的最小值.（答：－48）提醒:(1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？8.函数的单调性.（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法：取值――作差――变形――定号注：为便于判断差的符号对差变形的方向是：完全平方的和或因式的积。导数法:在区间内，若总有,则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在.如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____（答：））；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意，型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如(1)若函数在区间（－∞，4)上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：)）；（2)已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；(3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是______（答：且）)；③复合函数法：复合函数单调性的特点是先外后内、同增异减.，∴为，单调递减区间为.提醒：判断复合函数的单调性。先外后内:先求外层函数的单调区间，再在其基础上求内层函数的单调性。同增异减：当,.（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域,如若函数在区间上为减函数,求的取值范围（答：）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或";三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）。如已知奇函数是定义在上的减函数，若,求实数的取值范围.（答：）9。函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中,则的值是（答：0）；(2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：①定义法：如判断函数的奇偶性____（答：奇函数）。②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（)。如判断的奇偶性___.（答：偶函数)③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。(3）函数奇偶性的性质:①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.③若为偶函数,则。如若定义在R上的偶函数在上是减函数,且=2,则不等式的解集为______。(答：）④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件.如若为奇函数,则实数＝____（答：1）.⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数，，。①判断与的奇偶性；②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝____（答：①为偶函数，为奇函数；②＝）⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外".⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集)。=8\*GB3⑧在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。10.函数的周期性(1）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：①函数满足，则是周期为2的周期函数；②若恒成立，则；③若恒成立，则。提醒:（1）函数满足，，,（m、n、p∈R，且p≠0，)则函数是周期为2的周期函数；（2）函数对x∈R时，对于非零实数a,恒有f（x+a）=,则f(x）是周期函数且3a是函数的一个周期。如（1）设是上的奇函数，，当时，，则等于_____（答：）；(2)定义在上的偶函数满足,且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________（答：）；（3）已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值（答：993）；（4)设是定义域为R的函数，且，又,则= 。(答：）（2）类比“三角函数图像”得：①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；特别地:若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x)是周期为的周期函数；②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为;特别地:若y=f(x）奇函数,其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为的周期函数；如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有__________个实数根（答：5)11.常见的图象变换(1）平移变换：图进标退（变的只是解析式中的)。①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。注意x的系数非1时的情况。如设的图像与的图像关于直线对称,的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为__________（答:）②函数（的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。如（1）若，则函数的最小值为____（答:2)；（2）要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到（答:;右);（3)函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2）③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的;如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原图象关于直线对称，那么(答：C）（2)伸缩变换:图伸标缩（变的只是解析式中的）.⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如(1)将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____（答：)；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______（答：)．⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.12。函数的对称性。①满足条件的函数的图象关于直线对称。特别地：若x∈R时，f（a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f（x）图像关于直线x=a对称；如已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____（答：）；函数y=f（x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；函数y=f（a+x)与y=f（b－x)的图像关于直线x=对称。特别地（1)已知函数的图象过点（1,1），则的反函数的图象过点。(2)由函数的图象,通过怎样的变换得到的图象？②点关于轴的对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为；③点关于轴的对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为；④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为;⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地,点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为.如己知函数，若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是___________（答:）；⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。特别地如若函数与的图象关于点（-2，3）对称,则＝______（答：）⑦形如的图像是双曲线,其两渐近线分别直线（由分母为零确定)和直线（由分子、分母中的系数确定），对称中心是点。如已知函数图象与关于直线对称,且图象关于点（2,－3）对称,则a的值为______（答：2）⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象,擦去轴左方的图象,然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到.如(1）作出函数及的图象;（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称(答：轴）提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3)证明图像与的对称性，需证两方面：①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心(对称轴）的对称点仍在上。如（1)已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是,将C沿轴，轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线。①写出曲线的方程(答:)；②证明曲线C与关于点对称。13.函数零点与二分法(1）函数零点定义:对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交,则零点通常称为变号零点．（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（3）函数零点的求法：=1\＊GB3①（代数法）求方程的实数根；=2\＊GB3②（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．提醒：很多情况下,通过导数来确定图像的大致形状。（4)图像连续的函数的零点的性质=1\＊GB3①函数的图像是连续的，当它通过零点时（变号零点），函数值变号.函数零点存在定理：函数在区间上的图像是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点。=2\＊GB3②相邻两个零点之间的函数值保持同号（5）二分法及步骤：对于在区间,上连续不断,且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1．确定区间，，验证·，给定精度；2．求区间,的中点;3．计算:二分法通过每次把f(x）的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做两分法。eq\o\ac（○，1)若=，则就是函数的零点；eq\o\ac(○，2）若·〈,则令=（此时零点)；eq\o\ac（○,3)若·〈，则令=(此时零点）；4．判断是否达到精度；即若,则得到零点零点值（或)；否则重复步骤2~4．如：求函数的一个正数零点(精确到）．分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．解：（略)．注意：eq\o\ac（○,1)第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；eq\o\ac(○,2）建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度[1，2］〉01[1，1。5］〈00.5[1。25,1.5]<00.25如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．提醒：确定小区间的标准是使其端点异号.二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．14.指数式、对数式:幂指数的运算法则，,，对数的运算法则，，，,，,，。（1）（a〉0,a≠1,b〉0,n∈R+)；(2）（a〉0，a≠1，b〉0，b≠1）；（3）（a>0，a≠1,N>0)；提醒：指数、对数的运算法则要求参与运算的指数对数式是同底的.(4）的符号由口诀“同正异负”记忆;注意公式从左→右应用,也注意右→左运用，以及在此过程中的对的要求.强调利用对数运算法则时要注意各字母值的范围a＞0，a≠1,M，N＞0（4)的符号由口诀“同正异负”记忆；口诀“同大异小”可用来比较与1的大小。如（1)的值为________（答：8）；（2）的值为________（答：）15。指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2)作差或作商法；（3）利用中间量(0或1)；（4）化同指数(或同真数）后利用图象比较。比较两个幂值的大小是常见的题型，也是一类容易出错的问题。解决这类问题，首先要分清是底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同,可利用图像（时，底大图高）；如果底数、指数都不同，则要利用中间变量基本思维程序是:=1\*GB3①中间量（0再1）=2\*GB3②化为同底利用单调性（可引进中间量：以保证同底、同真或同指）=3\＊GB3③作差或作商法（必要时可转化）16.指数函数与对数函数y=（a〉0，a≠1）=1\*GB3①互为反函数，=2\＊GB3②其单调性与a的大小有关，=3\＊GB3③图像特征:底大图高,底大图低.C17。幂函数及其性质(只要求）.（1）都过点（1，1）.（2)时，图像过点(0，0），且在第一