高中数学学案二面角求法之面面观

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼",但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题。总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”。其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事。1定义法即在二面角的棱上找一点,在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”,万变不离其宗，“树高千尺,叶落归根”,求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！。例1正方体ABCD—A1B1C1D1中,求二面角A—BD—C1的大小为DB1图1AOA1DB1图1AOA1CBD1C1O1二面角C-BD—C1的“补角”。教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念,但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维,在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1是二面角C-BD—C1的平面角，且tan∠COC1=，故所求二面角的大小为arctan.将题目略作变化,二面角A1—BD—C1的大小为。在图1中,∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cosMAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)Q∠A1OC1=，那么所求二面角的大小为arccos。更有趣的是，还可求得tan∠O1OC1=，所以二面角A1—BD-C1的为大小为2arctan。又tan∠C1OO1=，所以二面角A1—BD—C1的大小又可为MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)Q例2(2006年江苏试题)如图2（1）,在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点,满足AE:EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2），将△AEF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B、A1P。（Ⅰ）与（Ⅱ）略;（Ⅲ）求二面角B-A1P-F的大小（用反三角函数值表示）。分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性。若取BP的中点Q,连接EQ，则在正三角形ABC中,很容易证得△BEQ≌△PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2（2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP,所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B—A1P—F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在△QMF中,由余弦定理得cos∠QMF=，故二面角B-A1P-F的大小为.2三垂线法这是最典型也是最常用的方法,当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义。A图3PBlA图3PBl内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B,连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变）”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形（最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解。对于钝二面角也完全可以用这种方法,锐角的补角不就是钝角吗？图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题）如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈,B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=eq\r（2),求:图4B1AA1BlEF(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1E⊥AB1于AB1于E,则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB,∴∠A平面角.依次可求得AB1=B1B=eq\r(2)，A1B=,A1E=，A1F=，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=eq\f(A1E，A1F)=eq\f（\r(6)，3），故二面角A1－AB－B1的大小为arcsineq\f(\r(6),3)。与图3中的Rt△PAB比较,这里的Rt△A1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备。3垂面法P图5lCBAP图5lCBA例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小。分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知l⊥平面PAB,设l∩平面PAB=C，连接PC,则l⊥PC.分别在Rt△PAC、Rt△PBC中,PC=,PA=4,PB=3，则AC=，BC=。因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径,设PC=2R，二面角的大小为.分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2—2·PA·PBcos（)，则可解得cos=,=120o,二面角的大小为120o.4面积法如图1，设二面角C—BD-C1的大小为，则在Rt△COC1中，cos，在某些情况下用此法特别方便.例5如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2,BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小。分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1，DAM图6ECBC1A1B1HG则△A1B1C1≌△DAM图6ECBC1A1B1HG，所以等腰△A1B1C1的面积为，又正△ABC的面积为。设所求二面角的大小为,则cos=,所以.5变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中,问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化,“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略.5。1“无棱”二面角的求法严格地说,任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法:（1）用面积法，见例5;（2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”。在例5中,延长C1B1和C1A1作CM⊥GH于M，连C1M，C1M⊥GH，则∠CMC由平几知识得CG=4，CH=2，则△CGH的面积为，又△CGH的面积为CH·CM.又由余弦定理得GH=,所以CM=2，则在Rt△CMC1中，tan∠CMC1=2，那么所求的二面角为arctan2.与是一致的。在原图中，面A1B1C1与的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了。面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化,例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法.5。2平面图形折转后的二面角的求法CBAO1ODCBAO1OD图7(2)FEAO1ODCB图7(1)E(Ⅰ)求证：AC⊥BO1；（Ⅱ)求二面角O—AC-O1的大小。分析与略解:(Ⅰ）OO1是等腰梯形ABCD的对称轴，它将等腰梯形分成全等的两个直角梯形,随着折转发生，它们相对的位置关系有了变化，但本身的大小和形状却没有任何变化，因此在图6（2)中，∠AOB是直二面角A-OO-B的平面角，AO⊥BO，AO⊥平面OBCO1，OC是AC在平面OBCO1内的射影.欲证AC⊥BO1，则只要证OC⊥BO1，问题纳入平面OBCO1之中.易知在Rt△O1OB中,∠OO1B=60o，则∠O1OC=30o,所以OC⊥BO1，于是得证。若在图6(1）中也画出相关的线段，就看得更清晰了.（Ⅱ)由（Ⅰ)知BO1⊥平面AOC,设BO1与OC的交点为E,作EF⊥AC于F，连O1F,则O1F⊥AC，∠O1FE是所求二面角的平面角.可依次求得AO1=，AC=，O1F=,O1E=,则在Rt△O1FE中，sin∠O1FE=,故所求的二面角的大小为arcsin。Rt△O1FE被挤在一个十分狭窄的空间内，不容易分清谁是直角，谁是锐角，可单独将它画出来，以避免混淆.对于折转问题，将原来的平面图形与折转后的空间进行比照是很好的一种策略.5。3求二面角转移法转化是重要的数学思想之一，当所求的二面角为钝角时，可先求其“补角”.转移也是一种转化，就是将待求的二面角转移到另一个简单的环境之中,从而得解.例7ADCBB1C1A1图8GE例2（2005年重庆高考试题）如图2,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、CADCBB1C1A1图8GE(Ⅰ）略；（Ⅱ)二面角A—EB1—A1的平面角的正切值。分析与略解:（Ⅱ）因为垂直关系集中在E点的周围，所以过E作EG∥A1B1，则EG⊥面BB1C1C，EG⊥EB1，又AE⊥EB1面角A-EB1-A1的平面角.这叫平行转移，给解题带来了极大的方便。又EG∥AB，故易得tan∠AEG=tan∠BAE=.5.4有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题,殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.图9EDCBAl例8二面角-l-图9EDCBAl上,A、D分别在面、内，且AD⊥B