2021年广东省湛江市西连中学高二数学理模拟试卷含解析

2021年广东省湛江市西连中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（） A．120 B．210 C．252 D．45参考答案：B【考点】二项式系数的性质． 【专题】二项式定理． 【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项． 【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大， 所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5， 又展开式的通项为=， 令5﹣=0解得k=6， 所以展开式的常数项为=210； 故选：B 【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项． 2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，且MN的中点的横坐标为,则此双曲线的方程式为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10－a12的值为

（

）A.20

B.22

C.24

D.28参考答案：C4.设是虚数单位，集合，，则为（ ）A.

B.

C. D.参考答案：D5.现代社会对破译密码的难度要求越来越高。有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz1234567891011121314151617181920212223242526

现给出一个变换公式：将明文转换成密文，

如，即变成；，即变成。按上述规定,若将明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是

A．love

B．lhho

C．ohhl

D．eovl参考答案：A密文shxc中的s对应的数字为19，按照变换公式：，原文对应的数字是12，对应的字母是；密文shxc中的h对应的数字为8，按照变换公式：，原文对应的数字是15，对应的字母是；6.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是

A设数列﹛an﹜的前n项和为sn，由an=2n﹣1，求出s1=12，s2=22，s3=32，…推断sn=n2B由cosx，满足对x∈R都成立，推断为奇函数。C由圆的面积推断：椭圆（a＞b＞0)的面积s=πabD由（1+1）2＞21，（2+1）2＞22，（3+1）2＞23，…，

推断对一切正整数n，（n+1)2＞2n

参考答案：A略7.若均为实数，则“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略8.在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22B．23C．24D．25参考答案：A考点：等差数列的性质．分析：根据等差数列的性质，我们可将ak=a1+a2+a3+…+a7，转化为ak=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得ak=7a4=21d，进而求出k值．解答：解：∵数列{an}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵ak=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将ak=a1+a2+a3+…+a7，化为ak=7a4，是解答本题的关键．9.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（

） A．三棱锥

B．球

C．圆柱

D．正方体参考答案：C略10.正方体中，M、N、Q分别为的中点，过M、N、Q的平面与正方体相交截得的图形是（

）A.三角形

B.四边形

C.五边形

D.六边形参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义：若数列对任意的正整数n，都有（d为常数），则称为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”，“绝对公和”，则其前2012项和的最小值为

参考答案：略12.若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则此直线的斜率是______________.参考答案：2略13.在△的边上有个点，边上有个点，加上点共个点，以这个点为顶点的三角形有

个.参考答案：

解析：14.已知正项等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是

．参考答案：15.已知直线与函数的图象相切，则切点坐标为

参考答案：16.函数y＝xlnx的导数是＿＿＿＿＿。参考答案：lnx+1；略17.二项式（x﹣）6的展开式中第5项的二项式系数为_________．（用数字作答）参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程．(2)求四边形QAMB面积的最小值．(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．参考答案：(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，则圆心M到切线的距离为1，或0，∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.……（3分）(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝.∴四边形QAMB面积的最小值为.…………………（6分）(3)设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴.在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝|MQ|，∴|MQ|＝3.∴x2＋(y－2)2＝9.设Q(x,0)，则x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)，∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.……（13分）19.如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，∵OC⊥平面VAB，∴VC﹣VAB=?S△VAB=，∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．20.设函数f（x）=﹣alnx（1）求函数y=f（x）的单调区间和极值；（2）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，试求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间和极值即可；（2）通过讨论a的范围，若满足f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，需满足，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）=﹣alnx，得f′（x）=x﹣=（x＞0），①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数无极大值，也无极小值；②当a＞0时，由f′（x）=0，得x=或x=﹣（舍去）．于是，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减递增所以函数f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）．函数f（x）在x=处取得极小值f（）=，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），函数既无极大值也无极小值；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间为（，+∞），函数f（x）有极小值，无极大值．（2）当a≤0时，由（1）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在区间（1，e2]上至多有一个零点，不合题意．当a＞0时，由（1）知，当x∈（0，）时，函数f（x）单调递减；当x∈（，+∞）时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）=．若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，则需满足，即整理得，所以e＜a≤．故所求a的取值范围为（e，]．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．21.若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC参考答案：证明∵平面PAC⊥平面PBC，作AD⊥PC垂足为D，根据平面与平面垂直的性质定理知：AD⊥平面PBC，又BC平面PBC，则BC⊥AD，又PA⊥平面ABC，则BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AC.22.(本小题满分15分)如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.参考答案：（1）证明：∵是的中点，且，

∴.

∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵四边形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………6′（2）解法1：作于，连接，∵⊥平面，平面∴.

∵，平面，平面，∴⊥平面.∵平面，∴.

∴∠为二面角的平面角.设正方形的边长为，则，，在Rt△中，，

在Rt△中，，，在Rt△中，.∴二面角的平面角的正弦值为.