2021年山东省潍坊市青州第二中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2021年山东省潍坊市青州第二中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=的最小值为f（0），则a的取值范围是(

) A．[﹣1，] B．[﹣1，0] C．[0，] D．[0，2]参考答案：C考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由分段函数可得当x=0时，f（0）=4a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有4a2≤x++a+1，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值5+a，解不等式4a2≤5+a，即可得到a的取值范围．解答： 解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=4a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有4a2≤x++a+1，x＞0恒成立，由x+≥2=4，当且仅当x=2取最小值4，则4a2≤5+a，解得﹣1≤a≤．综上，a的取值范围为[0，]．故选：C．点评：本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．2.如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是（

）A．B．或C．

D．或参考答案：

D略3.用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线,则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：

①则A,B,C,D四点共面,所以AB、CD共面,这与AB、CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC、BD也是异面直线;③假设直线AC、BD是共面直线;

则正确的序号顺序为

（

）

A．①

②

③

B．③

①

②

C．①

③

②

D．②

③

①参考答案：B4.将“”改写成全称命题，下列说法正确的是（

）A．都有

B．都有C．都有

D．都有参考答案：A略5.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是

A．假设三内角都大于

B．假设三内角都不大于

C．假设三内角至多有一个大于

D．假设三内角至多有两个大于参考答案：A6.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：A【分析】算出后可得其对应的点所处的象限.【详解】因为，故，其对应的点为，它在第一象限，故选A.【点睛】本题考查复数的除法及复数的几何意义，属于基础题.7.椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则

值为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A略8.已知，则的值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略9.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（

）(A)假设三内角都大于60度；

(B)假设三内角都不大于60度；(C)假设三内角至多有一个大于60度；

(D)假设三内角至多有两个大于60度。参考答案：A略10.双曲线﹣y2=1过点P（2，1），则双曲线的焦点是（）A．（，0），（﹣，0） B．（，0），（﹣，0） C．（0，），（0，﹣） D．（0，），（0，﹣）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】先将点的坐标代入双曲线方程求出a值，再利用双曲线的标准方程，就可求出双曲线中的a，b的值，根据双曲线中a，b，c的关系式即可求出半焦距c的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标．【解答】解：∵双曲线﹣y2=1过点P（2，1），∴，∴a2=4，b2=1，∴c2=4+1=5，c=又∵双曲线焦点在x轴上，∴焦点坐标为（±，0）故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②∥面；③；④面面。其中正确的命题的序号是_____________（写出所有你认为正确结论的序号）参考答案：①②④12.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是

.参考答案：3

略13.已知结论：“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”.若把该结论推广到空间，则有结论： .参考答案：正四面体中心到顶点的距离是到对面三角形中心距离的3倍14.已知函数的图像如图所示，且．则的值是

．参考答案：3略15.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为

.参考答案：略16.用斜二测画法画各边长为2cm的正三角形，所得直观图的面积为________。参考答案：17.（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=

．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC?CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.圆与圆相交于A、B两点（1）求直线AB的方程（2）求以AB为直径的圆的方程参考答案：（1）两圆与联立得直线AB的方程为3x-4y-1=0

(2)法一：两圆圆心的连线的直线方程为4x+3y+2=0

将4x+3y+2=0与直线AB的方程为3x-4y-1=0联立交点（，）即为所求圆的圆心

圆的圆心（1，-2）到直线AB的距离为2

弦长AB为2，所求圆的半径为1

所求圆的方程为

法二：将直线AB：3x-4y-1=0与圆联立

得点A、B的坐标分别为（-1，-1）和（，）

从而得圆心（，）和半径为1

所求圆的方程为

略19.如图，在四棱锥S—ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD＝AD＝AB，E是SA的中点．（Ⅰ）求证：平面BED⊥平面SAB；（Ⅱ）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．参考答案：

略

20.（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆上顶点为（0，2），且离心率为，列出方程组，求出a=6，b=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设切点为（x0，y0），求出切线方程为，设点M（xM，yM），MA，MB是圆x2+y2=1的切线，求出切点弦AB的方程为xMx+yMy=1，由此能求出|PQ|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为，∴，解得a=6，b=2，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设切点为（x0，y0），当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），∵k=﹣，∴切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），∴，当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，符合，综上知切线方程为，设点M（xM，yM），MA，MB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x2x+y2y=1，∵两切线都过M点，∴x1xM+y1yM=1，x2xM+y2yM=1，∴切点弦AB的方程为xMx+yMy=1，由题意知xMyM≠0，∴P（，0），Q（0，），∴|PQ|2==（）（+）=≥=，当且仅当时，取等号，∴|PQ|≥，∴|PQ|的最小值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两点间距离的最小值的求法，涉及到椭圆、直线方程、切线方程、两点间距离公式、基本不等式等知识点，是中档题．21.已知函数，数列{an}的前n项和为Sn，点（）均在函数的图像上.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数.参考答案：（1）；（2）10．分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出；（2）由，利用裂项求和法求出，由此能求