辽宁省大连市中国百强中学高三数学理模拟试题含解析

辽宁省大连市中国百强中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（，）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的命题中正确的是（

）A.函数g(x)是奇函数 B.g(x)的图象关于直线对称C.g(x)在上是增函数 D.当时，函数g(x)的值域是[0,2]参考答案：C【分析】由三角函数恒等变换的公式和三角函数的图象变换，得到，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，因为函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得，即，所以，即，把函数沿轴向左平移个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，可得函数，可得函数为非奇非偶函数，所以A不正确；由，所以不是函数的对称轴，所以B不正确；由，则，由正弦函数的性质，可得函数在上单调递增，所以C正确；由，则，当时，即，函数取得最小值，最小值为，当时，即，函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，所以D不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数图象与性质的综合应用，其中解答中先根据三角恒等变换的公式和三角函数的图象变换得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.若等差数列满足，则的最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：B，有解3.计算的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B原式.故选B.4.设满足约束条件，则的取值范围是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.函数周期为，其图像的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是（

）A．

B．

C．D．参考答案：A略6.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B． C．2 D．1参考答案：B【考点】HR：余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7.已知函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2015的值为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】数形结合；转化思想；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，可得f′（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a．可得f（x）=4x2﹣1，==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，∴f′（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a=4．∴f（x）=4x2﹣1，f（n）=4n2﹣1．∴==．∴数列{}的前n项和为Sn=+…+==．则S2015=．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究切线、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知函数，则的图象大致为

A

B

C

D参考答案：A略9.在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据对称性，得到、两点的坐标，从而得到，然后根据的范围，得到的范围，从而得到离心率的范围.【详解】在轴上，且平行四边形中，，、两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即、两点关于轴对称，而，可设，，代入椭圆方程得：，得，为直线的倾斜角，，，，，而．椭圆的离心率的取值范围为．故选A项．【点睛】本题考查椭圆的离心率的表示方法，通过几何关系得到的关系，从而求出离心率的范围，属于中档题.10.已知集合A={x|x2﹣x≤0}，x∈R，集合B={x|log2x≤0}，则A、B满足（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A?B且B?A参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】根据一元二次不等式的解法，对集合A进行化简得{x|0≤x≤1}，根据利用对数函数的单调性对集合B进行化简得{x|0＜x≤1}，从而得到A，B之间的关系．【解答】解：集合A={x|x2﹣x≤0}={x|0≤x≤1}，集合B={x|log2x≤0}={x|0＜x≤1}，∴B?A．故选B．【点评】此题是基础题．考查一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，注意对数函数的定义域，以及集合的包含关系的判断及应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则

．参考答案：

12.为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是

．参考答案：13.记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．参考答案：（﹣∞，﹣3]【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A?B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]14.设a＞0，b＞0，若3是9a与27b的等比中项，则的最小值等于

．参考答案：12【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由3是9a与27b的等比中项得到a+b=1，代入=（）（a+b）后展开，利用基本不等式求得最值．【解答】解：∵3是9a与27b的等比中项，∴9a?27b=9，即32a+3b=32，也就是2a+3b=2，∴a+b=1，∴=（）（a+b）=6++≥6+2=12．当且仅当=，即a=，b=时取得最小值．故答案为：12．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．15.已知是圆上两点，点在抛物线上，当取得最大值时，

．参考答案：16.已知正方体的棱长是3，点、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的大小等于

．参考答案：17.在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间（﹣4，4）的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．由不等式|x﹣2|+|x+3|≥7可得x≤﹣3，﹣x+2﹣x﹣3≥7，∴x≤﹣4；﹣3＜x＜2，﹣x+2+x+3≥7，无解；x≥2，x﹣2+x+3≥7，∴x≥3故原不等式的解集为{x|x≤﹣4或x≥3}，∴在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为P==．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于点F.（Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.参考答案：(Ⅰ)证明:∵AE=AB,

∴BE=AB,∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆.---------------------------5分(Ⅱ)解:如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°,∴△AGD为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.-------------------10分略19.（本题满分14分）已知函数，且其导函数的图像过原点.(1)当时，求函数的图像在处的切线方程;(2)若存在，使得，求的最大值；(3)当时，求函数的零点个数。参考答案：

,由得

,.

---------------------2分(1)当时,,，,所以函数的图像在处的切线方程为,即------------4分(2)存在,使得,

，，当且仅当时，所以的最大值为.

--------------------------------9分f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

(3)当时，的变化情况如下表：

----11分的极大值，的极小值又，.所以函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。--------------------14分注：①证明的极小值也可这样进行:设，则当时,,当时,,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从而的极小值.②证明函数共有三个零点。也可这样进行:的极大值，的极小值,当无限减小时，无限趋于

当无限增大时，无限趋于故函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。20.已知函数（Ⅰ）求不等式的解集M；（Ⅱ）当时，证明：.参考答案：略21.(11分)

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1．1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注。已知2006年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2006年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1％的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：Tn=228a(1.012n-1)．

(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；

(2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；

(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20％，并说明理由．(参考数据

)参考答案：解析：(1)Q型车每月的销售量{}足以首项a1=a，公比q=1+1％=1.01的等比数列前n个月的销售总量．．．．．．(4分)(2)．．．．．(6分)又

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(8分)(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为和，则当n≥2时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．(10分)当n≥2时，若n≥10,即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．．．．．．．．(12分)22.（13分）已知抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0.

（I）求抛物线C的焦点坐标；

（II）若点M满足，求点M的轨迹方程.参考答案：解析：（I）将P（1，－1）