固体物理中地格林函数

第三章格林函数最简单的介绍第一节单电子近似的物理基础，Hartree-Fock近似在我们的固体物理学课程中，对固体中电子系统的处理，基本上采用单电子近似，或独立电子近似的方法。然而其合理性是需要说明的。Anderson在1991年出版的“ConceptsinSolids”一书认为，对于这一问题，可能有多种回答，并列举了以下几种：1）变分原理；2）不相容原理，3）库伦屏蔽，4）元激发的概念。本节介绍基于变分原理的Hartree-Fock近似，这一近似改进了多体波函数的构筑，使之具有粒子交换反对称性，在变分原理的基础上，将多体问题转化为单体问题。1.体系哈密顿量对于固体系统来说，其哈密顿量可以写为2.相互作用多体系统，Hartree-Fock近似我们采用这样的单位制在凝胶模型下，电子系统的哈密顿量可以写为对于N个电子组成的系统，由泡利不相容原理，我们有总的波函数类似可以证明第一项就是两个费密子的势能，即库仑相互作用部分。第二部分反应了粒子全同性及泡利不相容原理，称为交换能。电子系统的总能量下面我们用变分的方法讨论一下系统的能量本征态。为此，我们可以求该式在满足单粒子归一化条件下的极值。即求满足泛函方程或Hatree-Fock方程！对于库仑相互作用，交换势以及库仑势只能发生在自旋相同的态之间。HF方程中的交换项。第二部分积分是发散的，为此做紫外截断，即使得积分上限取为kF.交换势就可以写成在R=0处，电子密度只有远处电子密度的一半。其物理意义是很容易理解的：由于泡利不相容原理，自旋平行的电子处于空间同一点的几率为零，即在很小的距离同时发现两个相同的电子的概率是很小的。当然，由于库仑相互作用是自旋无关的，在同一位置发现两个自旋相反的电子的概率不受影响。这一现象使得电子周围出现了“空穴”，称为交换空穴或费密空穴。对带电粒子，则形成了局部的电荷亏损，并导致电子静电势的变化。第二节单粒子格林函数研究很多物理现象，例如多体系统的基态能量，系统元激发的性质，系统对外界的响应，等等，都要用到格林函数。格林函数有零温格林函数以及非零温的格林函数。本部分介绍零温的格林函数。1.费米子格林函数定义:利用编时乘积的定义，将格林函数写成该式的物理含义：格林函数有三个重要的性质：我们经常在傅里叶空间计算各种物理量。尤其是用格林函数进行计算时，在动量空间或傅里叶空间比坐标空间方便的多.定义格林函数的傅氏变换为:如果系统是均匀的,我们定义:则此时,对于均匀系统,电子(或空穴)在传播过程中动量不变。类似于空间部分，我们也经常对时间变量进行傅氏变换对于均匀系统(空间均匀,时间均匀)，我们有对于这样的系统，我们可以类似地定义如下格林函数的傅里叶变换:2.物理量用格林函数的表示很多物理量，例如单粒子算符对基态的平均值，基态能量，以及系统的元激发谱等等，都可用格林函数表示出来，而格林函数本身可以用微挠论计算。格林函数在固体物理中非常重要。下面举几个例子，说明这些算符是如何用格林函数表示出来的。求迹是对内部坐标进行。1）粒子数密度算符2）总动能算符基态平均值为3）对于只包含两两相互作用的势能V可以证明,势能可以写成,4）基态能量：对于均匀系统格林函数仅依赖于坐标差，我们已经定义其傅氏变化如下：因而上述算符也可以用傅里叶空间格林函数表示出来。粒子数密度算符真空平均值(假设没有内部自由度)，而基态能量：3.自由费米子格林函数格林函数，作为微挠论的重要工具，占有非常重要的地位，然而，一般情况下，格林函数的解析形式事实上是做不出来的（在有相互作用的情况下），我们所能做的是在微扰论的指引下，计算不同阶的格林函数。这里仅仅讨论最低阶没有相互作用情况下费米子的格林函数。我们知道，对于无相互作用的费料子系统，在零温时有下列事实在海森堡表象中，产生湮灭算符随时间的变化为又类似我们可以得到：粒子数算符其中我们下面计算费密子的格林函数从而，格林函数可以写为格林函数的傅里叶形式为格林函数！4.费米子格林函数的Lehmann表示格林函数的具体形式相当复杂，它与相互作用以及固体的性质都有关系。但是利用量子力学的一般原理我们也可以推导出一些非常重要的结果。首先我们有一个重要结论：对于均匀系统，格林函数仅依赖于空时坐标的差值。在傅里叶空间中，该式也是傅里叶空间的格林函数。被称为格林函数的Lehmann表示。上式第一项中，中间态有N+1个粒子而第二项的中间态有N-1个粒子。对于第一项，分母可以写为，傅里叶空间的格林函数为5.格林函数的一般性质格林函数是频率半纯函数（除了个别的孤立极点外在全平面上单值正则）单极点就相当于相互作用系统的激发能。当频率小于化学势时，极点在实轴上方，当频率大于化学势时，极点在实轴下方。可见，它既不是上半平面的解析函数，也不是下半平面的解析函数。格林函数相当复杂的，为简化起见，我们定义推迟和超前格林函数：与求格林函数方法类似，有下面的性质：考察格林函数的渐近行为同理格林函数可以写为此时离散的极点变为了连续的割线，无限体积极限改变了格林函数的性质，分立的极点成了连续的割线。A，B称为谱函数。格林函数在实轴是不连续的。对于自由费米子系统忽略自旋，格林函数为与格林函数的谱函数表示比较，我们发现，两个谱函数有一个非常重要的关系，两边作傅里叶变换，并利用谱函数的定义，我们就可以证明上述结论。这一结论对于任意相互作用的系统都正确！格林函数有一个非常重要的渐近性质。考察频率趋于无穷大的行为，在格林函数的谱函数表达式中，频率趋于无穷大，则同样，该性质是有普遍意义的！证明如下：由粒子数算符的表达式，从势能的表达式，一般情况下，应