年高中同步学习辅导－函数

函数李洪岩高级教师2006年名师课堂辅导讲座—高中部分[学习内容]1、映射，函数，反函数。2、函数的定义域、值域。3、函数的奇偶性与单调性。4、指数函数与对数函数。[学习要求]1、了解映射概念，理解函数概念。2、了解函数奇偶性与单调性概念，掌握判断一些简单函数，单调性，奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。3、了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。4、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念，图象与性质。5、理解对数的概念，掌握对数运算性质，掌握对数函数的概念，图象，性质。6、能运用函数的性质解决某些简单实际问题。[学习指导]1、把握本章的复习重点（1）理解函数的有关概念，函数的定义，函数的三要素，函数的表示方法中特别是函数的解析式，都是重点复习内容。（2）掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，并会运用，加强对函数单调性、奇偶性的应用训练也是复习的重点，也就是在已知函数已具有奇偶性或单调性的性质条件下，在解题中如何合理地运用这些性质解题。为此应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、以及形如y=x+的函数等一些常见函数的性质，归纳提练函数性质的应用规律。（3）理解掌握反函数的概念。明确反函数的意义，一些常见符号的意义、求反函数的方法步骤、反函数与原函数的关系等。（4）理解掌握指数函数、对数函数的概念、图象及性质。能运用性质熟练地进行大小比较，方程求解等。会用基本的函数性质研究复合函数的单调性，奇偶性等。2、以函数知识为依托，强化思想方法的训练由于近年高考试题中加强了数形结合思想的考查，加强了对图象的考查，对函数图象的复习显得更加重要。首先应掌握一、二次函数图象及反比例函数和指数、对数函数的图象和性质，分析掌握基本函数图象间的关系，在此基础上，理解掌握常见的平移、对称变换方法。以基本函数为基础，强化由式到图和由图到式的转化训练。加强函数思想、转化思想的训练是本章复习的另一个重点。善于转化命题，引进变量建立函数。运用变动的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力。3、准确、深刻地理解函数概念、加强与各章知识的联系，强化应用意识。对函数有关概念，只有做到准确，深刻地理解，才能正确、灵活地加以运用，函数是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学代数的始终。数、式、方程、不等式、数列等，是以函数为中心的代数，高考考查的内容，几乎覆盖了中学阶段的所有函数，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数对数函数，还有三角函数等，也涉及到函数的所有主要的性质，且以考查三基为主，通性通法为主，因此更应加强函数与三角函数、不等式、数列等各章间知识的联系，养成自觉运用函数观点处理问题的习惯和培养自身的能力。所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理、方程、不等式、数列等问题。[典型例题分析]例1、已知a>0,且a≠1，f(logax)=（1）求f(x)的表达式（2）判定f(x)的奇偶性及单调性（3）对f(x)，当x∈(-1,1)时，有f(1-m)+f(1-m2)<0，求m范围。分析：从复合函数中求出f(x)常用换元法，用性质转化为m的不等式组求m。解：（1）令f=logax，则x=at∴f(t)=

即f(x)=

（2）∵f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数设x1<x2，则f(x1)-f(x2)∵1+>0当0<a<1时<0ax1>ax2

∴f(x1)<f(x2)当a>1时>0ax1>ax2∴f(x1)<f(x2)∴f(x)为增函数（3）|1-m|<1且|1-m2|<1|1-m|<1|1-m2|<11<m<1-m2<m-1反思：（1）证明单调性，用定义。此题中带有字母，应对a进行讨论；（2）对1-m，1-m2在定义域中应特别注意。例2、设a>0f(x)=是R上偶函数。（1）求a的值（2）证明函数f(x)在(0,+∞)上是增函数。解：x∈Rf(-x)=f(x)a=±1∵a>0∴a=1

（2）设0<x1<x2f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+=ex1(ex2-x1-1)()∵x1>0x2>0x1-x2>0x1+x2>0ex2-x1-1>01-ex2+x1<0∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)∴f(x)在(0，+∞)上是增函数反思：在函数中要注意定义域，本题考查的是函数的奇偶性与单调性。

例3、已知f(x)=loga(a-ax)(a>1)（1）求f(x)定义域（2）判断f(x)的单调性,并证明（3）解不等式f-1(x2-2)>f(x)分析：本题综合考查了多个知识点，只要基础扎实不难解出此题。解：（1）a-ax>0ax<a∴x<1

定义域为（-∞，1）

loga(a-ax)<logaa=1∴值域为（-∞，1）

（2）设x1<x2<1f(x1)-f(x2)=loga(a-ax1)-loga(a-ax2)=loga>loga1=0∴f(x1)>f(x2)∴f(x)为减函数。（3）设y=loga(a-ax)∴ay=a-axax=a-ay∴x=loga(a-ay)∴f-1(x)=loga(a-ax)(x<1)由f-1(xx-2)>f(x)∴loga(a-ax2-2)>loga(a-ax)ax2-2<axx2-2<xx2-x-2<0-1<x<2又x<1∴-1<x<1∴不等式解为{x|-1<x<1}例4、已知函数f(x)=ax+(a>1)(02上海)（1）证明，函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根解：（1）证明x1,x2(-1,+∞)x1<x2f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+=ax1(ax2-x1-1)+=ax1(ax2-x1-1)+>0∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数(∵x2-x1>0ax2-x1-1>0,ax1>0x1+1>0x2+1>0)(2)设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0则

ax0=-且0<ax0<1∴0<-<1∴<x0<2

与x0<0矛盾，故方程f(x)=0没有负数解。例5、f(x)是定义在R上的奇函数当x∈[0,1]时f(x)=（1）求f(x)在(-1,0)上解析式（2）证明f(x)在(0,1)上为减函数（3）当<a<时，求关于x不等式f(x)≥a在(0,1)内解集。

解：（1）设-1<x<0，则0<-x<1,∵x(0,1)时,f(x)=f(-x)=

又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴当-1<x<0时，f(x)=-f(-x)=-（2）设0<x1<x2<1，则f(x1)=,f(x2)=,f(x2)-f(x1)=∵0<x1<x2<1,2x1<2x2,故2x1-2x2<0,4x1+1>0,4x2+1>0,2x1+x2-1>0∴f(x2)-f(x1)<0,从而f(x2)<f(x1),因此f(x)在(0,1)上是减函数。

（3）由f(x)在[0,1]上为减函数可知f(0)>f(1),f(0)=,f(1)=,∴<f(x)<当<a<时，∵f(x)在[0,1]上是单调减函数，∴f(x)=a,有且只有一个实根,解得2x=(1-4a2>0)a·22x-2x+a≤0又∵x∈(0,1),∴2x∈(1,2),0<x<log2

例6、设关于x的函数,y=x2+2a+a2-6a+13。（1）求函数y的最大值M(a)（2）是存在正常数b，使a在(1,+∞)上变化时，y=logbM(a)的最大值是-分析：有1-x2≥0|x|≤1用三角换元法最好。（1）设x=sinθ

θ∈{-,}则y=sin2θ+2acosθ+a2-6a+13=-cos2θ+2acosθ+a2-6a+14=-(cosθ-a)2+2a2-6a+14a2-6a+14(a<0)M(a)=2a2-6a+14(0≤a≤1)a2-6a+13(a>1)（2）a在(1,∞)上变化时M(a)=a2-4a+13=(a-2)2+9当a=2时，M(a)小=9而y=logbM(a)在区间(1,∞)内取最大值为-故0<b<1∴logb9=-b=∴当b=时，使a在(1,+∞)上变化时y=logbM(a)在(1,+∞)内取最大值为-反思：此题（2）由M(a)取最小值9而y=logbM(a)在区间(1,∞)内取最大值是-判断出对数函数为减函数，推出0<b<1是本题的关健点。例7、设函数f(x)的定义域为R，且在定义域R上总有

f(x)=-f(x+2)又当-1≤x≤1时

f(x)=x2+2x（1）当3<x≤5时，求f(x)的解析式。（2）试判断函数f(x)在(3,5]上单调性，并给予证明。分析：证明函数单调性用单调性定义。解:(1)∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)

当3<x≤5时

-1<x-4≤1依题意知

f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3<x≤5)（2）证明任取x1,x23<x1<x2≤5f(x1)-f(x2)=x12-6x1+8-x22-16x2-8=(x1-x2)(x1+x2-6)<0∵x1-x2<0x1+x2-6>0∴f(x1)<f(x2)f(x)在(3,5]上增反思：本题由条件f(x)=-f(x+2)比较隐蔽，注意挖掘。例8、已知函数f(x)=log2(1+x)+alog2(1-x)为奇函数（1）求f(x)解析式。（2）解关于x的不等式f-1(x)<m，其中m∈R解：(1)由1+x>01-x>0∵f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)即log2(1-x)+alog2(1+x)=-log2(1+x)-alog2(1-x)得(1+a)log2(1-x2)=0∴1+a=0∴a=-1∴f(x)=log2∴f(x)定义域为

(-1,1)（2）由f(x)=log2

得f-1(x)=(x∈R)由f-1(x)<m得，(1-m)2x<1+m∴当m≥1时，x∈R当-1<m<1时，x<log2当m≤-1时，x∈Ф

例9、设a为实数函数f(x)=x2+|x-a|+1x∈R（1）讨论f(x)的奇偶性。（2）求f(x)的最小值。解:(1)当a=0函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)此时f(x)为偶函数当a≠0时，f(a)=a2+1f(-a)=a2+2|a|+1f(-a)≠f(a)f(-a)≠-f(a)此时f(x)既不是奇函数也不是偶函数（2）①当x<a时，f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+若a≤

则f(x)在(-∞,a]上单调递减从而f(x)在(-,a]上最小值为f(a)=a2+1若a>则f(x)在(-,a]上最小值为f()=+a②当x>a时，f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+若a≤-则f(x)在[a,+∞]上的具小值为f(-)=-a若a>-则f(x)在[a,+∞]上单调递增从而f(x)在[a,+∞]最小值为f(a)=a2+1综上：当a≤-时函数f(x)的最小值为–a当-