从球坐标到莫比乌斯飘带曲面教程

从球坐标到莫比乌斯环教程球坐标的定义数学上的定义在数学里，球坐标系（英语：Sphericalcoordinatesystem）是一种利用球坐标（r,仇夕）表示一个点P在三维空间的位置的三维正交坐标系。下图显示了球坐标的几何意义：原点到P点的距离r，原点到点P的连线与正z轴之间的天顶角0以及原点到点P的连线，在xOy平面的投影线，与正x轴之间的方位角夕.1.2 ggb中球坐标的含义在ggb中，球面坐标的表示方式为（ry外其中r为有向线段OP（ggb中何以为负值）方位角.的定义等同于数学上的定义，即0P在xOy平面上的投影0P'与x轴正半轴的夹角,范围为R,而〃的含义不同于天顶角，实质上是0P与。P'的夹角,类似于0P与xOy平面所成的角，这个角本文称之为高度角，范围同样也为R,两个角的正负可以用旋转来定义,即逆时针为正，顺时针为负针为正，顺时针为负13球心不在原点的球坐标若球心。不是原点厕球上点P可以表示为0+（小通）2 利用球坐标画曲面与曲线球面(r为常数的曲面)指令：Surface!(r;s;t),s,0,2pi,t,-pi/2,pi/2]圆面、圆柱锥台面(高度角为常数的曲面)圆面半径为1的圆面上任意一点P的高度角为0,方位角记作s,到原点距离设为r,则P=(r;s;0),故指令为:Surface[(r;s;0),r,0,1,s,0,2pi]假如r的范围修改为0.5到L则得到的为圆环.圆柱面如图，圆柱的底面半径为R,高为h,以P为球心，则P的方位角二P，的方位角，记为s,高度角为；-泮径PP'=r,则P=PM(r;s;pi/2),易知P=(R;s),则P=(R;s)+(r;s;pi/2),指令为Surface[(R;s)+(r;s;pi/2),s,0,2pi,r,0,h]说明:圆柱也可以写出(R；s)+(0,0,r)的形式,(本文只是为了介绍球坐标)类似的，可以算出圆锥,圆台的高度角，并画出圆锥面和圆台面.例如:Surface[(R;s)+(r;s;pi/3),s,0；2pi,r,0/h]] ##圆台Surface((R;s)+(r;s;tt-acosd(R/l))zs,0,2tt,r,0,I)##圆锥圆环面设OA=4,AB=L则以A为球心，圆环面上任意一点B的方位角为s,高度角为t.两个角的范围都为0-匕力=A+(l；s;t)=(4;s)+(l;s;t),指令为:Surface[(4;s)+(l;s;t),s,0,2pi/t/0z2pi]莫比乌斯环莫比乌斯环的制作方法:拿一张长纸条然后把其中一端扭转180。，再把两端连上，就成为一个莫比乌斯带.可见如果不扭转,直接连接两端，则得到的就是一个圆柱面.想象着，把圆柱的母线扭转，扭转的过程中，保持母线的方位角不变，从第一条母线到最后一条母线扭转的角度为0。-180。,而母线的方位角从0。到360。,故只要扭转角等于方位角的一半，则能保证一端扭转后能和另一端连上.为了方便大家理解，笔者等间距的画出莫比乌斯环的13条母线(首尾重合)，显然这些母线的方位角为0。,30。,60。…360。,而高度角等于原来母线的高度角加上扭转的角度，比如第三条母线，方位角为60。,扭转的角度为180。4122=30。,则以A为原点时,高度角=90。+30。=120。,第7条母线方位角为180。,扭转的角度=180。+12x6=90。,故以对应点为原点时高度角为90。+90。=180。,从图中可以看到该母线落在乂。丫平面内.而第1条母线和最后1条母线的高度角为别为90度角为别为90。和270。,因此这2条母线重合.可以推断,以对应白点为原点时，各母线上的任意点的高度角二方位角/2+90。设大圆的半径为4,纸片的宽度为2,设环上任意一点B方位角为s,则以A为原点时，高度角为s/2+90。,A的坐标为(2;s),则B=(2;s)+(r;s;s/2+90。)指令如下:Surface[(4;s)+(r;s;s/2+90°),s,0,2pi,r,-1,1]如果另一端扭转540。,那么只需修改高度角为1.5s,一般只要保证扭转的是180度的奇数倍,即可保证两端能连上，并且只有一个面.指令如下：Surface[(4;s)+(r;s;(n+0.5)s+90°),s,0,2pi,r,-1,1]说明也可以左边的一端