浙江省台金六校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（ 含答案解析 ）

第1页/共1页台金六校2022学年第二学期高二年级期中联考试题数学考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的答字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，需将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答写在本试题卷上无效.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】根据组合数性质得，解出即可.【详解】，即，解得或（舍），故选：D.2.若函数，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】求导，进而可得结果.【详解】因为，可得.故选：C.3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的表达式，设设，利用导数得出的单调性，函数值的符号，从而可得函数的性质，得出函数图象．【详解】的定义域为．设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则．所以，且在上单调递增，在上单调递减．故选：B．4.仙居杨梅是台州市著名特产之一，其栽培有1000多年的历史.据统计，仙居杨梅的单果重量（单位：克）克服从正态分布，则单果重量在的概率为（）（附：若，则，）A.0.6827 B.0.8186 C.0.8413 D.0.9545【答案】B【解析】【分析】分析该正态分布的均值和方差并作出图像，即可求出单果重量在的概率.【详解】由题意，仙居杨梅的单果重量（单位：克）克服从正态分布，在中，，∴该正态分布的均值是20，方差是9，标准差是3，正态分布图像如下：∵，，，∴，故选：B.5.有一项社区活动需要完成，人员在指定的6名同学中选派，要求必须有人参加，去几个人自行决定，若甲和乙两位同学要么同时参加，要么同时不参加，则不同的选派方法种数为（）A.15 B.31 C.63 D.120【答案】B【解析】【分析】利用组合及分类加法计数原理即可求解.【详解】若甲和乙两位同学同时参加，则去的人数可能是人，人，人，人，人.所以满足条件的去法种数为种，若甲和乙两位同学同不时参加，则去的人数可能是人，人，人，人.所以满足条件的去法种数为种，故不同选派方法种数为种.

故选：B.6.若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.【详解】由题设，知处的切线的斜率为，又因为，所以，解得.故选：A.7.一个数阵有行5列，第一行中的数为1，2，3，4，5，其余各行都由这5个数以不同顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的最大值为（）A.5 B.25 C.120 D.3125【答案】C【解析】【分析】根据题意，个不同元素的全排列共有个，由个不同的数值可以以不同顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同，即可得到答案.【详解】第一行的数为，其余各行都由这个数以不同顺序组成，由于个不同元素的全排列共有个，所以由个不同的数值可以以不同顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同，为使每一行都不重复，可以取的最大值是.故选：C8.已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分析可得在定义域内恒成立，求导，利用导数判断单调性和最值结合恒成立问题可得，进而利用二次函数求的最大值.【详解】构建，由题意可得在定义域内恒成立，可得的定义域为，且，因为，，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减；所以，令，则，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以，若，则，即，所以，当时，取到最小值.故选：A.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题1.分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．2.函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C.设随机变量服从正态分布，若，则D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据经验回归直线可以不经过样本数据点中的任何一个点可判断；对于B，根据残差的定义可判断；对于C，由正态分布的对称性即可判断；对于D，根据卡方的含义即可判断.【详解】对于A，经验回归直线可以不经过样本数据点中的任何一个点，A错误；对于B，根据残差的定义可知，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，B正确；对于C，随机变量服从正态分布，则，所以，则，C正确；对于D，因为，所以可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，D正确.故选：BCD.10.已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，记“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件，“第三张卡片所标数字为奇数”为事件，“三张卡片所标数字均奇数”为事件，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】共有种取法，再列举满足条件的事件得到A正确，根据抽签公平原则得到B正确，列举得到C正确，利用条件概率公式计算得到D正确，得到答案.【详解】对于选项A：从五张卡片中不放回的抽取2张卡片，有种取法，其中事件包含共4个基本事件，则，正确；对选项B：第三张卡片所标数字为奇数的概率与第一张卡片所标数字为奇数的概率相同，则，错误；对选项C：从五张卡片中不放回的抽取3张卡片，有种取法，事件包含1个基本事件，即，则，正确；对于选项D：，，，正确；故选：ACD.11.展开式为多项式，设其展开式经过合并同类项后的项数记为，其通项的形式为（为项的系数），则下列说法正确的是（）A.当时，前的系数为2240 B.当时，前的系数为6272C.当时， D.当时，【答案】AC【解析】【分析】利用隔板法确定，代入计算得到C正确D错误，再根据个相乘，利用组合计算系数为，A正确B错误，得到答案.【详解】展开式为多项式，对应的项数为将个相同的小球分为组，共有种方法，故，对选项A：时，考虑个相乘，其中个选择，个选择，剩余的选择，则系数为，正确；对选项B：当时，前的系数为，错误；对选项C：当时，，正确；对选项D：当时，，错误；故选：AC.12.对于函数，则下列说法正确的是（）A.有极大值，没有极小值B.有极小值，没有极大值C.若关于的不等式有唯一的负整数解，则实数的取值范围是D.若过点与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】求导得到单调区间，计算极值得到A错误B正确，确定直线过定点，根据直线与函数值的关系解得C正确，设出切点，题目转化为，构造函数计算最值得到D正确，得到答案.【详解】，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故函数有极小值为，无极大值.对选项A：函数无极大值，错误；对选项B：有极小值，没有极大值，正确；对选项C：直线过定点，不等式有唯一的负整数解，则，解得，正确；对选项D：设切点为，则，故，设，则，当和时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，函数有极小值为画出函数图像，如图所示：根据图像知：有三个交点，故.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的极值，解不等式的整数问题，切线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将切线的条数问题转化为函数的极值问题是解题的关键.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若随机变量，则________.【答案】##【解析】【分析】根据二项分布的方差公式即可求解.【详解】因为，所以.故答案为：14.曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为.已知函数，则曲线在点处的曲率________.【答案】【解析】【分析】先求，进而可得，代入题中公式运算求解.【详解】因为，则，可得，所以曲线在点处的曲率.故答案为：.15.已知，且，则的展开式中含项的系数为________.【答案】42【解析】分析】根据题意结合等比数列求和可得，再结合二项展开式结合等差数列求和运算求解.【详解】因为，解得，所以，又因为的二项展开式为，令，则，所以中项的系数为，则的展开式中含项的系数为.故答案为：42.16.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人，若次传球后球在甲手中的概率为，则________.【答案】【解析】【分析】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，得到，化简整理得，即，结合等比数列的通项公式，即可求解，进而可求解.【详解】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，则有，所以，即，所以，且，所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，所以，所以所以故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从集合中取三个数字，从集合中取两个数字，组成没有重复数字的五位数，分别求出满足下列条件的五位数个数，要求答案用数字表示.（1）集合中的数字必须在奇数位上；（2）集合中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数.【答案】（1）480；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用分步乘法计数原理结合排列问题列式计算作答.（2）按万位是否是集合A中取出的数字分类，再利用相邻问题捆绑法排列所取数字即可求解作答.【小问1详解】依题意，集合中的数字必须在奇数位上，则集合B中的数字只能在十位和千位，所以集合中的数字必须在奇数位上的五位数个数是.【小问2详解】因为集合中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数，则此五位数的个位必须是集合B中的数字，当万位是集合A中取出的数字时，有个，当万位是集合B中取出的数字时，排万位有种，排个位有种，排另3个数位有种，共有，由分类加法计数原理得，所以集合中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数有个.18.已知在处有极大值0.（1）求常数，的值；（2）求在区间上的最值.【答案】（1）（2）在区间上的最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）求解导函数，利用极小值列方程组求解a，b，并检验；（2）利用导数判断函数在区间上的单调性，求解极值与端点处的函数值，从而可得最大、最小值.【小问1详解】因为，则，由题意可得，解得或，若，则，，令，解得或；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以在处取到极大值0，符合题意；若，则，，令，解得或；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以在处取到极小值0，不符合题意；综上所述：.【小问2详解】因为，由（1）可知：，且在上单调递增，在上单调递减，由于，且，所以在区间上的最大值为，最小值为.19.随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题.现从330人中进行调查，不同年龄层的人对“刷脸支付”所态度，结果统计如下表所示：年龄在50周岁以上（含50周岁）年龄在50周岁以下总计持支持态度60180240不持支持态度303060总计90210300（1）从上述列联表中，判断是否有99.9%的把握认为年龄与所持态度具有相关性；（2）已知某地的一连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数与第天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求与的回归直线方程.1234567第天24812222638使用人数参考数据：，，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，，.【答案】（1）有99.9%的把握认为年龄与所持态度具有相关性（2）【解析】【分析】（1）根据题意计算，并与临界值对比分析；（2）先求，，再根据题中数据和公式求，即可得结果.【小问1详解】由题意可得：，所以有99.9%的把握认为年龄与所持态度具有相关性.【小问2详解】因为，，可得，则，所以与的回归直线方程.20.已知二项式的展开式中第二项与第四项的系数相同.（1）求值与展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项，利用展开式中第二项与第四项的系数相同求出的值，再利用通项求常数项；（2）先得到第3项展开式系数最大，再代入通项可得.【小问1详解】的展开式的第项为，即，由题意，得，因，故，此时，当时，，【小问2详解】由（1）知展开式系数为，，设第项系数最大，则有，即，得，，解得，因故所以展开式中系数最大的项为第3项，即21.中国男子篮球职业赛，简称中职篮（CBA），总决赛一般采用“七局四胜”制，某赛季总决赛在甲、乙两支男子篮球队中进行，已知甲队每局获胜的概率均为.（1）设甲队以获胜的概率为，求的最大值；（2）若，用表示决出总冠军需要进行的比赛局数，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意，求得，再判断单调性，求得最值即可.（2）求得的所以可能取值，再求概率及分布列即可.【小问1详解】甲队以获胜，则前四局中甲胜三局败一局，第五局甲必须胜，所以，，，令，得，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为.【小问2详解】由题意知，，则的可能取值为，相应的概率为：，，，，所以的分布列为：所以的数学期望.22.已知函数，其中为大于零的常数.（1）试讨论函数的零点个数.（2）当时，设函数，且是函数的两个极值点，求的最