第五章 §5.1 5.1.2 弧度制-高中数学人教A版必修一 课件（共48张PPT）

5.1.2弧度制第五章

§5.1任意角和弧度制1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.(重点)2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.(难点)学习目标导语同学们，大家看过《水浒传》吗？在古典小说中，经常看到“某人身高八尺”这样的说法，若按照我们今天的标准(1米＝3尺)换算，这些人的身高都超过了姚明的身高，难道古人真的都有那么高吗？其实不然，在我国历史的不同时期，一尺的标准是不一样的，比如在春秋战国时期，一尺约等于0.23米，这样算来，八尺也就1.84米，“堂堂七尺男儿”也就1.6米左右.据说在商代的时候，一尺约等于0.17米，人高约一丈(一丈等于十尺)，故有“丈夫”之称，那么度量角的大小，除了角度以外，还有其他单位吗？让我们带着这个疑问开始今天的新课.一、弧度制的概念二、角度制与弧度制的相互转化三、利用弧度表示角随堂演练四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式内容索引弧度制的概念

一问题1

我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？提示不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系.问题2为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制.提到弧度，你能想到什么？提示我们能够想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正是因为有弧度而富有神韵.而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变.角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的

，记作1°弧度制定义以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于

的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(rad可省略不写)1.度量角的两种制度知识梳理半径长2.弧度数的计算正负0一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.注意点：

下列命题中，假命题是A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的

，1rad的角是周角的C.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关√例1根据1度的角、1弧度的角的定义可知D为假命题.(1)圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的；(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.反思感悟

下列各命题中，真命题是A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小√跟踪训练1根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.角度制与弧度制的相互转化

二问题3根据公式|α|＝

，你能得出圆周角的弧度数吗？提示因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系.1.弧度与角度的换算知识梳理2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°30°45°_____90°120°弧度___度135°150°______270°360°弧度π2π60°180°0(1)弧度单位rad可以省略；(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用.注意点：

把下列角度化成弧度，弧度化成角度：(1)37°30′；例2(2)－216°；(3)2；角度与弧度换算技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×

＝度数.一般情况下，省略弧度单位rad.反思感悟

将下列角度与弧度进行互化：跟踪训练2(3)10°；(4)－855°.利用弧度表示角

三

将－1125°角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？例3所以－1125°角是第四象限角.延伸探究若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.得k＝－2，－1,0,1，反思感悟用弧度制表示终边相同的角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.(2)注意同一题目中角度制与弧度制不能混用.(1)用弧度制表示所有与75°角终边相同的角的集合是

.跟踪训练3√(2)将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是弧度制下的扇形的弧长与面积公式

四问题4

我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？

公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制弧度制l＝

(0＜α＜2π)S＝

＝______(0＜α＜2π)扇形的弧长与面积公式(R是扇形所在圆的半径，n°为扇形的圆心角)知识梳理αR

已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.例4设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为lcm，半径为Rcm，①②整理得R2－5R＋4＝0，解得R＝1或R＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8rad>2πrad，舍去.延伸探究已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，所以当圆心角为2时扇形面积最大，最大值为1.扇形的弧长和面积的求解策略反思感悟(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、要求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.

已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l.(1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l；跟踪训练4(2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形的面积S的最大值.课堂小结1.知识清单：(1)弧度制的概念.(2)弧度与角度的相互转化.(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.(4)扇形的弧长与面积的计算.2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算.3.常见误区：弧度与角度易混用.随堂演练

1.下列说法正确的是A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角√1234对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可