第四章 §4.2 4.2.1 指数函数的概念-高中数学人教A版必修一 课件（共29张PPT）

4.2.1指数函数的概念第四章

§4.2指数函数学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.(重点)2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．导语一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是前一个月的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第十二个月，他能获得多少工资(211＝2048)？第二十四个月，他能获得多少工资(223＝8388608)？估计这个老板肠子都悔青了.一、指数函数的概念二、指数函数解析式及应用三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用随堂演练内容索引指数函数的概念

一问题1在某种细菌的培养过程中，细菌每10min分裂一次，由1个分裂成两个.设分裂次数为x，细菌的个数为y，说出y与x的关系.提示细菌个数y是分裂次数x的函数，对应关系为y＝2x.问题2《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”设经过x天，剩余量为y，说出y与x的关系.问题3以上两个函数在结构上有什么共同点？提示指数都是自变量，底数都是不为1的常数.知识梳理指数函数的概念：一般地，函数

(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.y＝ax注意点：(1)函数的特征底数a>0，且a≠1；指数幂的系数为1；指数仅为自变量x.(2)注意区分指数函数与幂函数.例1(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是A.0 B.1 C.2 D.4√①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数.(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是A.(0,1)∪(1，＋∞) B.[0,1)∪(1，＋∞)√依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求.(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求.跟踪训练1(1)下列是指数函数的是A.y＝－3x B.C.y＝ax D.y＝πx√(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为______.2解得a＝2.指数函数解析式及应用

二例2

已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝

，于是f(x)＝

，所以f(0)＝π0＝1，f(1)＝

，f(－3)＝π－1＝

.反思感悟(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.

指数函数y＝f(x)的图象经过点

，那么f(4)f(2)等于A.8 B.16 C.32 D.64跟踪训练2√设指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f(4)f(2)＝24×22＝64.指数增长型和指数衰减型函数的实际应用

三问题4从课本P114例2(1)中你能发现都建立了哪些函数模型吗？提示A地旅游是一次函数模型，B地旅游是指数函数模型.知识梳理1.指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝

(x∈N).2.应用：刻画指数增长或指数衰减变化规律.N(1＋p)x注意点：(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型.(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型.(1)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为A.640 B.1280 C.2560 D.5120例3√设原来的细菌数为a，由题意可得，当t＝1时，y＝2a，当a＝10时，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t，当t＝7时，y＝10×27＝1280.延伸探究将本例的条件变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，细菌能达到的个数.设原来的细菌数为a，由题意可得，当a＝10时，ek＝3，所以y＝10ekt＝10·3t，若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21870.(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有

升，必须再经过A.12分钟 B.15分钟

C.20分钟 D.25分钟√由题意得B桶中水的体积y2＝a－amt，反思感悟关于函数y＝kax在实际问题中的应用(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律.(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.跟踪训练3

据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2023年的湖水量为m，从2023年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为__________.设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%