课件及复习微积分第2章d25函数连续性

§2.5

函数的连续性一、概念二、连续函数在连续点处的局部性质一、概念1、连续点xfi

x0对y

=

f

(x),

x

˛

D,

若x0

˛

D且有lim

f

(x)

=

f

(x0

),则称f

(x)在x0连续,称x0为f

(x)的一个连续点2、连续函数若对"x0

˛

D,有f

(x)在x0连续,则称f

(x)为D上的连续函数3、单侧连续（1）左连续0xfi

x-若有lim

f

(x)=f

(x),则称f

(x)在x0左连续（2）右连续0xfi

x+若有

lim

f

(x)

=

f

(x),则称f

(x)在x0右连续（3）与点连续的关系f

(x)在x0连续

f

(x)在x0既左连续,

又右连续4、定理 基本初等函数在其定义域内处处连续；初等函数在其定义域内亦处处连续（端点为单侧连续）5、间断点及其分类（1）

f

(x)在x0连续条件的分解同时满足下述三条件，即为连续点①②f

(x)在x0有定义

f

(x0

+

0)与f

(x0

-

0)均存在③f

(x0

+

0)

=

f

(x0

-

0)

=

f

(x0

)间断点：上述三个条件中至少有一个不成立的点即为间断点，也称间断点为不连续点。间断点仅在定义域及其端点处考察，其它点不考虑。间断点的分类：分为第一类间断点和第二类间断点◎第一类间断点：满足条件②的间断点，即是f

(x0

+0)与f

(x0

-0)均存在的间断点1)若f

(x0

+0)„f

(x0

-0),则称x0为跳跃间断点,如y

=[x]在整数点处且称f

(x0

+0)

-f

(x0

-0)

为f

(x)在x0处的跳跃度2)若f

(x0

+0)

=f(x0

-0)

„f

(x0

),或f

(x)在x0处无定义,则称x0为f

(x)的可去间断点,此时只需改变或补充f

(x)在x0处的函数值,就可使f

(x)在x0处连续,如xy=sin

x

在x

=0处y

=x

+1,

x

>

00,

x

=

01-

x,

x

<

0在x

=0处两个函数在给定点处均间断，一个为可去间断点，另一个为跳跃间断点，它们的大致图形如下XY1O

p25p

22p2--p2p

3p3p-p-2p5p

-

3p2

2-3py

=

2p3py

=-

25py

=

2xy

=sin

x

的图形为XYO11y

=

x

+

1,

x

>

0y

=

1

-

x

,

x

<

0x

+1,

x

>

0y

=

0,

x

=

01-

x,

x

<

0的图形为（4）理解举例例1

设f

(x)

=x2

-11

,xx

<

0,0

<

x

-1

£1x

-1x

>

22x

-1,求f

(x)的间断点,并判断出它们的类型解：f

(x)的定义域为(-¥

,0)[0,1)(1,2](2,+¥

),(-¥

,0),且在(0,1),(1,2),(2,+¥

)中f

(x)为初等函数,函数处处连续因此函数的间断点只可能在x1

=0,x2

=1,x3

=2处◎第二类间断点：f

(x0

+0)与f

(x0

-0)至少有一个不存在的点

lim

f

(x)

=

limxfi

0-

xfi0-1x=

¥,1\

x

=

0是f

(x)的第二类间断点x2

-1=2,且f

(x)在x2

=1处无定义又

lim

f

(x)=limxfi

1

xfi

1x

-1\x2

=1是f

(x)的可去间断点x2

-1而

lim

f

(x)

=

limxfi

2-

xfi

2-=

3,x

-1lim

f

(x)

=

lim

(2x

-1)

=

3,

f

(2)

=

3xfi

2+

xfi

2+\x3

=2是f

(x)的连续点例2x2nnfi

¥

1+

x求f

(x)=lim在x

=1点的跳跃度2n2n解：

lim

x

=nfi

¥0,

x

<11,

x

=1+¥

,

x

>1\

f

(x)

=0,

x

<1x

=11

,21

x

>

1\

lim

f

(x)

=

0,

lim

f

(x)

=1xfi

1-

xfi

1+x2n2n\

f

(x)

=

limnfi

¥在x

=1点的跳跃度为11+

x二、连续函数在连续点处的局部性质1、性质1若f

(x)在x0连续,且f

(x0

)>0,则$d

>0,使得对"x

˛

Od

(x0

)均有f

(x)>02、性质2若f

(x),g(x)在x0连续,则有Cf

(x),f

(x)–g(x),f

(x)•g(x)和0g(x)f

(x)(g(x)„0)在x

处亦连续3、推论若f

(x),g(x)在[a,b]上连续,则Cf

(x),f

(x)–g(x),g(x)f

(x)•g(x)和f

(x)(g(x)„0,x

˛

[a,b])在[a,b]上亦连续xfi

Xxfi

X4、性质3若f

(x)在x

=

A连续,

lim

g

(

x)

=

A,

则有

lim

f

[g(x)]

=

f

(

A)特别地，若g(x)在x0连续,f

(x)在A

=g(x0

)连续,则f

[g(x)]在x0连续xxfi

¥例3

利用函数连续性求极限

lim(1+

1

)x此例即为前面补充的第二重要极限，这里用连续性计算解：(1

+1)

xxx

ln(1+

1

)=

e

,xx

xxfi

¥xfi

¥\

lim

x

ln(1+

1

)

=

lim

x

•1

=11

1

1xfi¥lim

=

0

ln(1+

)

~

(x

fi

¥

)x

x

x而f

(x)=ex在(-¥

,+¥

)连续1\

lim

(1

+x

fi

¥)

xxx

ln(1+

1

)=

lim

e

=

e1

=

ex

fi

¥x例4

求下列函数的极限1x1x(1)

lim(1-

2x)xfi

0;

(3)

limxfi

01-

2x3

-

2x;

(2)

limxfi

¥x1-

2x1+

2x

1解：(1)lim(1-2x)xxfi

01

ln(1-2

x)=

lim

exxfi

01xfi

0(-2

x)=

lim

ex

=

e-2x

ln

1-2

x3-2

x

1-

2x

(2)

lim

=

lim

exfi

¥xxfi

¥

3

-

2x

2x

-3-2

x

=

lim

e

=

exfi

¥2x

ln1-3-2

x

=

lim

exfi

¥11

ln1-2

xx

1+2

x=

lim

exfi

0

1-

2x

x(3)

lim

1+

2x

xfi

0

1

ln1-

4

x

1+2

x

=

lim

exfi

0x1

-

4

xx

-41+2

x

=

lim

e

=

exfi

0例5

求极限xfi

0lim

sin[ln(1+

2x)]-

sin[ln(1-

x)]x解：sin[ln(1+2x)]-sin[ln(1-x)]=

2

sin[

ln(1+

2x)

-

ln(1-

x)]cos[

ln(1+

2x)

+ln(1-

x)]2

222

ln

1+

2x

1-

x

cos

ln(1+

x

-

2x

)=

2

sin2ln(1+

x

-

2x2

)而lim

cosxfi

0=1,且当x

fi

0时有2ln

1+

2x

ln

1+

2xln

1+

2x

~3x

,

sin

~3x1-

x

1-

x~1-

x

1-

x

2

22(1-

x)xfi

0x

xfi

0

2x(1-

x)\

lim

sin[ln(1+

2x)]-

sin[ln(1-

x)]

=

2

lim

3x=

35、性质4

利用函数极限计算数列极限若

lim

f

(x)

=

A,则有lim

f

(n)

=

Axfi

+¥

nfi

¥例6

求极限1lim(1-nfi

¥)n2n

+1解：n

ln(1-

1

)2n+11

(1-)n

=

e2n

+111lim

x

ln(1-xfi

+¥)

=

lim

x(-xfi

+¥2x

+12)

=

-

12x

+1n

ln(1-

1

)-12n+121\

lim(1-nfi

¥)n

=

lim

enfi

¥2n

+1=

e例7

求极限nlim

n

sin

pnfi

¥~n解：

n

fi

¥

p

fi

0

sinp

pn

nn

nnfi

¥nfi

¥\

lim

n

sin

p

=

lim

n

•p

=

p例8

连续复利问题在利息的计算方式上，分单利制和复利制两种方式。所谓单利制是指只计算本金的利息，利息不计算利息；而复利制下除了本金计算利息外，利息也要计算利息，即是一般所称的利滚利。经济学中称本金为现值，到