2023年中考数学考点总动员系列专题30简单事件的概率

PAGE1PAGE1考点三十：简单事件的概率聚焦考点☆温习理解一、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。二、频率与概率1.概率的概念一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).2.频率与概率的关系当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.三、概率的计算1.公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝2.列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.3.画树状图当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.4.几何概型一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.5.游戏公平性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.名师点睛☆典例分类考点典例一、事件的分类【例1】(2023·辽宁葫芦岛）（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．蒙上眼睛射击正中靶心B．买一张彩票一定中奖C．打开电视机，电视正在播放新闻联播D．月球绕着地球转【答案】D．考点：随机事件．【点睛】该题考查的是对必然事件，随机事件，不可能事件的概念的理解．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【举一反三】1.（2023·湖南长沙）下列说法中正确的是（）A.“打开电视机，正在播《动物世界》”是必然事件B.某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为三分之一D.想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查【答案】D【解析】试题分析：A选项为偶然事件；买彩票中奖属于随机事件，则每次中奖的概率为千分之一，则买100次也不一定能中奖；抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为二分之一；D、调查的人口比较多，所以适合采用抽样调查.考点：必然事件与概率的计算、调查的方式.2.下列说法中不正确的是（） A． 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B． 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件 C． 任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件 D． 一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6【答案】C．考点：1.随机事件；2.概率公式.考点典例二、利用列表法或画树状图求概率【例2】（山东青岛第18题，6分）（（本小题满分6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。【答案】不公平；理由略考点：概率的计算【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【举一反三】1.（2023凉山州）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【答案】（1）答案见试题解析；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．试题解析：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；（2）在直线的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数的图象上的概率=；（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．考点：1．列表法与树状图法；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．切线的性质；4．综合题．2.在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．（1）下列说法：①摸一次，摸出一号球和摸出5号球的概率相同；②有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次；③有放回的连续摸4次，则摸出四个球标号数字之和可能是20．其中正确的序号是．（2）若从袋中不放回地摸两次，求两球标号数字是一奇一偶的概率．【答案】（1）①③；（2）.【解析】试题分析：（1）①1号与5号球摸出概率相同，正确；②不一定摸出2号球，错误；③5+5+5+5=20，可能，正确；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两球标号数字是一奇一偶的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：（1）①1号与5号球摸出概率相同，正确；②不一定摸出2号球，错误；③若5+5+5+5=20，可能，正确；故答案为：①③；（2）列表如下：123451（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）所有等可能的情况有20种，其中数字是一奇一偶的情况有12种，则P（一奇一偶）=．考点：列表法与树状图法．考点典例三、计算简单事件的概率【例3】在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（）A.BCD【答案】C.【解析】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．试题解析：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，∴两次摸出的小球的标号相同的概率是：故选：C．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【举一反三】1．（2023遂宁）一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是=．故选A．考点：概率公式．2.（2023·黑龙江绥化）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A.B.C.D.【答案】C考点：简单事件的概率.3.(2023.宁夏，第9题，3分)从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．【答案】.【解析】试题分析：列表得，2342——2324332——3444243——由表格可知，任意抽取两个不同数字组成一个两位数的结果有6种，这个两位数能被3整除的结果有2种，所以这个两位数能被3整除的概率是.考点：用列表法求概率.考点典例四、计算等可能事件的概率【例4】如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（）A．0 B．C．D．1【答案】D.考点：列表法与树状图法；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；命题与定理．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，以及命题与定理，弄清题意是解本题的关键．【举一反三】1．（2023南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，关于a、b大小的正确判断是（）A．a＞bB．a=bC．a＜bD．不能判断【答案】B．【解析】试题分析：∵正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占3部分，∴a==，∵投掷一枚硬币，正面向上的概率b=，∴a=b，故选B．考点：几何概率．2．（2023.山东临沂第7题，3分）一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起.则其颜色搭配一致的概率是（）(A). (B). (C). (D)1.【答案】B【解析】试题分析：根据题意可以列树状图为：由图形可知总共有4种可能，颜色搭配一致的共有2种可能，因此P（颜色一致）=.故选B考点：概率考点典例五、概率与统计综合题【例5】(2023.宁夏，第19题，6分)为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）请将两幅不完整的统计图补充完整；（2）如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是级的概率是多少？【答案】(1)详见解析；（2）900；（3）.【解析】试题分析：（1）用B级的人数除以B级人数所占的百分比即可得这次抽查的总人数，用总人数乘以C级人数所占的百分比即可得C级的人数，再用总人数减去A、B、C级的人数即可求得D级的人数，分别用A级、D级的人数除以总人数即可得A级、D级的人数所占的百分比，把求得的数据在统计图上标出即可；（2）用总人数4500乘以不及格人数所占的百分比即可得答案；（3）从被抽测的学生中任选一名学生由40种结果，再求出这名学生成绩是D级的结果，即可求出这名学生成绩是D级的概率.试题解析：解：（1）抽样测试的学生人数为40，扇形统计图中补充：A级15%,D级20%;条形统计图补充正确（下图）；（2）450020%=900（人学生成绩是D级的概率是.考点：条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体；概率公式.【点睛】本题考查了折线统计图、扇形统计图和列表法与树状图法，解决本题的关键是从两种统计图中整理出解题的有关信息，在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【举一反三】（2023.山东潍坊，第20题，10分）（10分）某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本）123456789人数（名）126712x7y1请根据以上信息回答下列问题：（1）分别求出统计表中的x、y的值；（2）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；（3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．【答案】（1）11,3；（2）32；（3）.【解析】（2）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为=8%，5分∴，估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32；6分（3）用A、B、C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读9本的学生，画树状图得到：由列表可知，共12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种，所以抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率为=；10分考点：1.统计表；2.扇形统计图；3.简单事件的概率.课时作业☆能力提升一、选择题1.（2023广元）下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生的体能情况．应采用普查的方式B．若甲队成绩的方差是2．乙队成绩的方差是3．说明甲队成绩比乙队成绩稳定C．明天下雨的概率是99％，说明明天一定会下雨D．一组数据4，6，7，6，6，7，8，9的中位数和众数都是6【答案】B．考点：1．概率的意义；2．全面调查与抽样调查；3．方差；4．随机事件；5．中位数；6．众数．2.（2023.山东德州第10题，3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：（1）画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；（2）由（1）中“树形图”知，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，∴P（两辆汽车一辆左转，一辆右转）=．故选C．考点：列表法与树状图法．3．（2023.山东东营第7题，3分）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形．投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：投掷一次，向下一面有四种可能，其中圆、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，有两种可能，故概率为；故选D.考点：概率.4.（山东威海，第10题，3分）甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（）A.B.C.D.【答案】C考点：概率的计算.5.(2023.河北省，第13题，2分)将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：与点数3相差2的点由1或5，所以概率P=.故选：B考点:列举法求概率6.(2023·湖北荆门，10题，3分)在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：画树状图得：∵共有8种等可能的结果，经过3次传球后，球仍回到甲手中的有2种情况，∴经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是：=．故选B．考点：列表法与树状图法．7.（2023自贡）如图，随机闭合开关、、中的两个，则灯泡发光的概率是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是=．故选C．考点：1．列表法与树状图法；2．图表型．8.（2023·湖南株洲）从2，3,4，5中任意选两个数，记作和，那么点（，）在函数图象上的概率是()A、B、C、D、【答案】D【解析】试题分析：一、2,3，4,5从中选出一组数的所有可能性，注意任选两个，是指不能重复；二、反比例函数经过的点的理解；考点：概率的计算二、填空题：9.（2023.山东滨州第15题，4分）用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为.【答案】考点：概率10.（2023.山东济南，第19题,3分）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖的除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是．【答案】【解析】试题分析：观察这个图形可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的，则它最终停留在黑色方砖上的概率是；故答案为：．考点：几何概率．11.（2023.山东烟台，第15题，3分）如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则抽到函数图像不经过第四象限的卡片的概率为____________。【答案】考点：函数的图形与性质，概率12.(2023.上海市，第13题，4分)某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要位同学参加，现有包括小杰在内的位同学报名，因此学生会将从这位同学中随机抽取位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________．【答案】【解析】试题分析：根据题意中“随机抽取”，可知为等可能事件，将数据代入概率公式：.考点：等可能事件的概率公式.13.（2023·辽宁营口）如图，正方形内的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为．【答案】.考点：求随机事件的概率.14.（2023·辽宁沈阳）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有个．【答案】4．【解析】试题分析：设袋中的黑球有x个，根据题意得：，解得：x=4，经检验：x=4是原分式方程的解．即袋中的黑球有4个．故答案为：4．考点：概率公式．三、解答题15.（8分）（2023•聊城，第22题）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场．（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率；（2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场．游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚的概率即可；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率．考点：列表法与树状图法；概率公式16.(2023.安徽省，第19题，10分)A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．(1)求两次传球后，球恰在B手中的概率；(2)求三次传球后，球恰在A手中的概率．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)直接列举出两次传球的所有结果，球球恰在B手中的结果只有一种即可求概率；（2）画出树状图，表示出三次传球的所有结果，三次传球后，球恰在A手中的结果有2种，即可求出三次传球后，球恰在A手中的概率.试题解析:解：（1）两次传球的所有结果有4种，分别是A→B→C,A→B→A,A→C→B,A→C→A.每种结果发生的可能性相等，球球恰在B手中的结果只有一种，所以两次传球后，球恰在B手中的概率是；（2）树状图如下，由树状图可知，三次传球的所有结果有8种，每种结果发生的可能性相等.其中，三次传球后，球恰在A手中的结果有A→B→C→A,A→C→B→A这两种，所以三次传球后，球恰在A手中的概率是.考点：用列举法求概率.17.（2023·湖北鄂州，19题，8分）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．请你根据上面提供的信息回答下列问题：（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为度，该班共有学生人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是．（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．【答案】（1）36，40，5；（2）.【解析】试题分析：（1）先求出跳绳所占比例，再用比例乘以360°即可，用篮球的人数除以所占比例即可；根据加权平均数的概念计算训练后篮球定时定点投篮人均进球数．（2）画出树状图，根据概率公式求解即可．试题解析：（1）36，40，5（2）三名男生分别用A1,A2,A3表示，一名女生用B表示.根据题意，可画树形图如下：由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件M）的结果有6种，∴P(M)==.考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.加权平均数；4.概率公式．18.（2023·湖北黄冈，18题，分）（7分）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”（用√表示）或“淘汰”（用×表示）的评定结果．节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级．（1）请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；（2）求选手A晋级的概率．【答案】（1）答案见试题解析；（2）．【解析】试题分析：（1）利用树状图列举出所有可能即可，注意不重不漏的表示出所有结果；（2）列举出所有情况，让至少有两位评委给出“通过”的结论的情况数除以总情况数即为所求的概率．试题解析：（1）画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：；（2）∵由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，对于A选手，晋级的可能有4种情况，∴对于A选手，晋级的概率是：．考点：列表法与树状图法．19.（2023·辽宁营口）某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满88元，均可得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机中一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如下表）：甲种品牌化妆品球两红一红一白两白礼金卷（元）6126乙种品牌化妆品球两红一红一白两白礼金卷（元）12612（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇