二次函数综合型问题

第46课时

二次函数综合型问题特征二次函数综合型问题类型(1)二次函数与三角形的综合；(2)二次函数与四边形的综合；(3)二次函数与相似形的综合；(4)二次函数与圆的综合解题策略充分运用数形结合思想，把“数”与“形”结合，互相渗透，把数量关系与空间形式巧妙结合起来寻找解题思路类型之一二次函数与三角形、四边形的结合 [2016·德州]如图46－1，已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)． (1)求这个抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；图46－1(2)令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点C坐标为(3，0)，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点D坐标为(1，－4)，如答图①，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∵OB＝OC＝3，点D坐标为(1，－4)，∴BE＝DE＝1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠DBE＝45°，∴∠CBD＝90°，∴△BCD是直角三角形；例1答图(3)∵点B坐标为(0，－3)，点C坐标为(3，0)，∴直线BC解析式为y＝x－3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P(t，t－3)，M(t，t2－2t－3)，过点Q作QF⊥PM，垂足为F，∴△PQF是等腰直角三角形，【点悟】解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二次函数的解析式，再结合图象，运用几何知识解决问题．[2016·温州]如图46－2，抛物线y＝x2－mx－3(m＞0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC.(1)用含m的代数式表示BE的长；(3)若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G.①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值；图46－2变式跟进答图类型之二二次函数与相似三角形的结合 [2016·湖州]如图46－3，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC. (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围； (3)点P是直线AC上的动点，若点P，C，M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．【解析】(1)将点A，C的坐标代入函数解析式，即可求出b，c的值，通过配方法得到点M的坐标；(2)点M是沿着对称轴直线x＝1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x＝1代入求出点M在向下平移时与AC，AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；图46－3(3)由题意，可得∠MCP＝90°，若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC和△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点P坐标．①

②例2答图【点悟】此类问题常涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．[2016·十堰]如图46－4①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋1经过点A(4，－3)，顶点为B，P为抛物线上的一个动点，l是过点(0，2)且垂直于y轴的直线，过点P作PH⊥l，垂足为H，连结PO.(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；(2)①当点P运动到点A处时，计算：PO＝_____，PH＝_____，由此发现，PO______PH(选填“＞”“＜”或“＝”)；②当点P在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；(3)如图②，设点C(1，－2)，问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．55＝图46－4类型之三二次函数与圆的结合 (1)求过A，B，E三点的抛物线的解析式； (2)求证：四边形AMCD是菱形； (3)请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．图46－5例3答图图46－6(3)在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连结PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(2)如答图①，过点A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，进而得出答案；(3)由待定系数法可求得直线BC解析式，如答图②，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P，Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，得P点坐标．变式跟进1答图图46－7(1)求点D的坐标及抛物线的表达式；(2)若P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在