2023年高中学业水平考试数学总复习：第七章　平面向量及其应用

2023年高中学业水平考试数学总复习：第七章

平面向量及其应用

赢在考情菽有

嬴在考点5r砥

章东综合测试

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考点课标解读

平面向量的概念及线性运算1.平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的基本定理及坐标表7K(1)了解向量的实际背景.

平面向量的数量积及其应用(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

(3)理解向量的几何表示.

2.向量的线性运算

(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.

⑵掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.

(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.

正余弦定理及解三角形

3.平面向量的基本定理及坐标表示

⑴了解平面向量的基本定理及其意义.

⑵掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

⑶会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

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考点课标解读

平面向量的概念及线性运算4.平面向量的数量积

平面向量的基本定理及坐标⑴理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

表示⑵了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

平面向量的数量积及其应用⑶掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

(4)能运用数量积表不两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量

的垂直关系.

5.向量的应用

⑴会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

⑵会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

正余弦定理及解三角形6.正余弦定理及解三角形

⑴正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

⑵应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何

计算有关的实际问题.

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赢在考点洌练

考点1平面向量的概念与线性运算

■■7夯实基二二二二二础

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的

向量平面向量是自由向量

大小叫做向量的长度（或称模）

零长度为零的向量;其方向是任意

记作0

向量的

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名称定义备注

非零向量〃的单位

单位向量

长度等于1个单位的向量向量为土工

|a|

方向相同或相反的

平行向量

非零向量0与任一向量

方向相同或相反的非零向量又叫平行或共线

共线向量

做共线向量

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名称定义备注

长度相等且方向相同两向量只有相等或

相等向量

的向量不等,不能比较大小

长度相等且方向相反的

相反向量0的相反向量为0

向量

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2.向量的线性运算

向量

定义法则（或几何意义）运算律

运算

(1)交换律：

a

求两个向量a+b=b+a____.

加法三角形法则

和的运算(2)结合律：

a(a+b)+c=a+(b+c)

平行四边形法则

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向量

■一定义法则（或几何意义）运算律

运算

求Q与分的

相反向量一b

的和的运算，

减法XaVa—b=a+(—b)

其结果叫做三角形法则

〃与〃的差

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向量

■一定义法则(或几何意义)运算律

运算

⑴1M=囚同；

求实数

(2)当尢>0时，q的方向与a

2与向

的方向相同；当

数乘量〃的a+")a=7〃+"〃;

2<0时，〃的方向与a的方

积的运k(a+b)=2a+2b____

向相反；当2=0

算

时，〃=0______.

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3.共线向量定理

向量”（存0）与力共线的充要条件是存在唯个实数^使得

b=Aa.

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■■■提二二二二二升二二二二二能二二二二二力

考向1平面向量的概念

°典型例题1。

下列说法中：

①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；

②若非零向量而与而是共线向量，则,c,o四点共线;

③若非零向量〃与〃共线,则〃=力；

④若〃=仇则回=瓦

其中正确的个数为（)

A.OC.2D.3

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【解析】①显然是错误的;②是错误的,如平行四边形4BCD中，说

与无共线，但46,。,。四点不共线;③是错误的,两个非零向量共线,

说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两

个向量长度相等，方向相同,因而共线向量不一定是相等向量，

但相等向量却一定是共线向量;④是正确的，向量相等,即长度

相等、方向相同.

【答案】B

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【名师点拨】平面向量的概念要注意:

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.

⑶向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

(4)非零向量。与9的关系号是与a同方向的单位向量.

冏1«1

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°针对训练14

1.已知非零向量”与〃的方向相同，下列等式成立的是（A）

A.|〃+〃=同+回B.\a+b\=\a-b\

C.\a\—\b\=\a—b\D.同+回=|〃一b\

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-----

2.若”为任一非零向量仍为单位向量，下列各式：

①同＞团；②。〃力;③同＞0；④团=±1；⑤百=6.

其中正确的是（B）

A.①④⑤B.③

C.①②③⑤D.②③⑤

【解析】“为任一非零向量,所以间＞0,故③正确;由向量、单

位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误.故选B.

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3.如图，四边形/5CD为正方形,△5CE为等腰直角三角形，则

(1)图中与南共线的向量有7个;1)c

(2)图中与近相等的向量有2个;\\

(3)图中与布模相等的向量有9个;\\

(4)图中与前相等的向量是前ABE

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【解析】⑴♦・1/〃CA

/.与通共线的向量有而,DC,BAf^BEtEBfAEfEl,共7个.

⑵由正方形4BCD和等腰直角三角形BCE知，同=DC=就，有

2个.

⑶与边长相等的线段有4D,OC,C5/&45每一条线段可

以产生两个模相等的向量，除去向量同，共有2X5—1=9（个）.

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(4),•泗边形4BCD为正方形,

.\DCaAB.

1•DC/BE.

又・：DC=CB=BE,

二四边形CD5E是平行四边形,

：.ECBD.J^EC=BD.

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e典型例题2e

设M为平行四边形Z6CD对角线的交点,O为平行四边形

ABCD所在平面内任意一点，则瓦？+OB+OC+前等于（）

A.OMB.20M

C.30MD.40M

【解析】依题意知，点M是线段XC的中点，也是线段BO的中点,

所以面+^C=20MfOB+0D=20M,

所以耐+OC+OB+彷=4而，故选D.

【答案】D

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-0^

【名师点拨】向量的线性运算的解题策略

⑴进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,

选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向

量加、减法运算及数乘运算来求解.

(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，

有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等

平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系

的向量来求解.

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4针对训练2e

1.如图，点P为口的边5C的中点，记同=/前=力,则（A）

A.AP=a+-b

2

B.AP=^a+b

2

C.AP=a--b

2

D.AP=--a+b

2

【解析】AP=AB+BP=AB+-BC=a+-b.

22

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2.（2020•广东汕头校级学业考试）。中3/是5c边的中点，则向

量彳而等于（D）

-->-->1-->-->

A.A3-ACB.；（43-AC）

C.4B+ACD.|（4F+AC）

【解析】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，

有加=-（AB+就）.故选D.

2

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3.在△力与。中，如果AD.BE分别为5cHe上的中线，且而=即朝=

〃，那么8C=(A)

A.2〃+%BAZ一%

3333

Cr-a--bT).--a+-b

3333

【解析】由题意，得前二雇+前=力己而=。+!（而+反）

22

=。+|〃+^BC,

艮|］就=力+|〃廿就.

解得前=|〃+|4

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考向3共线向量定理的应用

。典型例题3。

设两个非零向量4与〃不共履

⑴若初=白+仇前=2a+8"R=3(〃一外求证：4国0三点共线;

(2)试确定实数用使版+力和〃+筋共线.

--导航

【解析】(1)证明：•••赤=1+8前=2a+8〃,而=3(〃一〃).

J.BD-BC+CD=2q+8〃+3(a—〃)=2a+8〃+3q—3〃=5(a+〃尸54R

•••南,85共线，又它们有公共点B,

星。三点共线.

(2)・.・4〃+力与〃+助共线，・二存在实数小

^ka+b=A(a+kb\ka+b=Aa+Akb.

：•(k—l)a=(ak—l)b.

•・•〃乃是不共线的两个非零向量，

:.k—A=Ak—l=0,・・.A2—i=o,.・.Q±i.

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【名师点拨】1.证明或判断三点共线的方法

(I)一般来说，要判定/应C三点是否共线，只需看是否存在实

数Z使得通=2前(或就=24等)即可.

(2)利用结论:若4B,C三点共线,O为直线外一点今存在实数三%使

OA=xOB+yOCx+y=l.

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2.利用向量共线求参数的方法

判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯

一的实数4使得〃=幼（厚0）.而已知向量共线求人常根据向量共

线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必

有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求

得;I的值.

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口针对训练3e

1.设立必是不共线的两个向量，下列四组向量：

①〃=«]一02力=-2c1+2«2；

②〃=勺+。2乃=2勺-2«2；

11

③Q=2«I--e,b=ei--e；

3262

④〃=2«通=—3修.

其中q与〃共线的组数为（C）

A.lB.2C.3D.4

3

【解析】①中〃=—2〃;③中〃=2〃;④中〃=一万〃;②中〃与。不存

在实数人使〃=乃/与〃不共线.

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2.(2020-r东珠海期中)设团与々是两个不共线向量，同=3d+2c2,

―»—»_9

CB=kei+e2^CD=3ei—2ke2^A^BJD三点共线，贝!Jk=4

【解析】因为/乃⑷三点共线，

故存在一个实数Z使得通=2前，

又4B=3«I+2«2,C3=〃«I+«2,CD=3«I—2〃《2,

所以BD=CD—CB=30i—Ikei—尸(3—k)ei—(2。+1)及，

所以3/+2c2=7(3—k)ei—2(24+1)%

所以｛之”3%)解得T・

一二学二二二二二业二二二二二达二二二二二标

1.（2019•广东河源学业水平模拟）如图，向量为必必的起点与终

点均在正方形网格的格点上，则向量〃用基底为必表示为（C）

A.ex+e2B.2«i—e2

C.-2e1+e2D.2e1+e2

【解析】如图,〃=而+而=一2团+及,故选C

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2.设仅片产分别为△/5C的三边BC.CA^B的中点，则四+FC

=(A)

A.4DB.-AD

2

C.BCD」就

2

【解析】如图，丽+丽=—；(瓦5+前)—“丽+市)

-->-->1-->-->-->

=--(BA+CA)=^(AB+AC)=AD.

22

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3.（2018・1月广东学业水平测试）如图0是平行四边形48co的

两条对角线的交点，则下列等式正确的是（D）

A^DA-^C=AC

B.D4+^C=D0

-------->-------->-------->-------->

C.OA-0B+AD=DB

D.40+0B+^C=AC

【解析】对于A项,而一灰二刀,错误；

对于B项，府+沆=2说,错误；

对于C项，万?一说+AD=BA+AD=万反错误；

对于D项，而+0B+^C=AB+BC=前，正确，故选D.

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-----

4.设她均为非零向量，则%〃产是“"与〃的方向相同”的（C）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】均为非零向量，

则“〃〃广时广〃与力的方向相同或相反”，充分性不成立；

“〃与〃的方向相同”时IIn必要性成立.

所以是必要不充分条件.

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5.(2019•广东湛江高一检测)四边形4BCD中，设同=〃,前=4那么

AC+BD=(B)

A.a—bB.a+b

C.b-aD.不能确定

【解析】9：AC=AB+BCAB+b,

BD=BA+AD=—AB+a.

..AC+BD=4B+A+(—48+〃)=〃+A.

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6.（2020•广东江门期末）下列命题中，正确的个数是（A）

①单位向量都相等；

②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若火力满足同〉回且〃与力同向,则〃＞力；

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若4〃方八%,则0%.

A.OB.1

C.2D.3

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【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故

①错误;

对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②

错误；

对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误;

对于④，向量是可以平移的矢量,当两个向量相等时,

它们的起点和终点不一定相同，故④错误；

对于⑤乃=0时皿/%〃%,则〃与c不一定平行.

综上,以上正确的命题个数是0.

故选A.

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7.（2019•广东湛江学空杏步模拟）已知k（5J2）,则与不方向相

同的单位向量是（石，石）.

【解析】设与几方向相同的单位向量是见

贝!贝!|同=日矶

即1=1川.52+122=13回,

即可=2,则右土卷由方向相同可得

KJ工JLKJ

则/T（5，12）=岛部

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8.如图，在平行四边形4BCD中,对角线4C与交于点。，彳石+

而乱前，贝!J2=2

【解析】由平行四边形法则有同+AD=AC=2A0,

已知幅+而=2前，所以2=2.

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考点2平面向量的基本定理与坐标表示

一二二夯-.-.--.7实基二二二二二础

1.平面向量的基本定理

如果40是同一平面内的两个不共线向量,那么对于

这一平面内的任意向量出有且只有一对实数Z4,使

U—九£1+幺2«2・

其中,不共线的向量修必叫做表示这一平面内所有向量的一

组基底.

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2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正

交分解.

3.平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设4=3加工力=（/通工则a+b=（a+勺Ji+必）M—b=

（为一勺死一力）（忒1/71），⑷=、卜；+比.

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(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设4巧Jl)/(*2仍卜则而=(*2一刀曲一71),

I荏1=J(冗2—%1)2+卬2—丫1)2.

4.平面向量共线的坐标表示

设〃=(为.0)/=(»/)则〃〃/<=>”逮2一*田=。.

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-二二提二二二二二升.二二二二二.能.二二二二二.力二--

考向1平面向量基本定理的应用

4典型例题1e

如图所示,在平行四边形4BCD中,设对角线前=〃,前=力,试用基底

a,b表亦AB,BC.

DC

0

AB

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【解析】方法一:设ZGBD交于点。，

则有而=oc=IAC=la,BO=0D=^BD=

所以说=AO+OB=AO-^d=*—gb,

=^0+0C=++|〃.

方法二:设则4。=BC=y,

(AB+BC=ACf,(x+y=af

(AD-AB=^Dfly-x=b.

所以x=^a—%少工"/仇即A3=-a--b^BC=-a+^b.

22122922’22

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-0^

【名师点拨】用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两

种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直

到用基底表示为止;另一种是通过列向量方程,利用基底表示

向量的唯一性求解.

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拉）

。针对训练1。

1.设向量勺与。2不共线港3x«i+（10—7）e2=（4丁—7）«1+2*6则实

数xj的值分别为（D）

A.0,0B.1,1

C.3,0D.3,4

【解析】•・响量勺与《2不共线,

.(3%=4y-7‘解瞰：4：

•,(10-y=2x,

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2.在梯形4BCD中4B〃CDHB=2CDM7V分别为CD出C的中点,

若标=2询+"而，则2+"等于（D）

B1

Ae-5

4

C-D5

【解析】因为同=AN+1^B=AN+CN=AN+（CA+AN）

=2AN+CM+1^LA=2AN--AB~AM.

4

所以布=IAN-g询，所以2+"=g.

KJ口KJ

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3.在三角形4BC中，点E是48边的中点，点尸在/。边上，且

C尸=2E4,AF交CE于点拉,设询=乂而抄加，则(D)

3234

A・，J=g

D<=1

C.x=|ty=|

5'5

【解析】因为点与空/三点共线,则存在实数。

使得品=(1一。而+双氏由题意知四=24瓦衣=河,

则询=2(1—。•荏+：前,因为点CME三点共线，

所以2(1—。+|=1,/=|,所以x=%=|.

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考向2平面向量的坐标及运算

e典型例题2e

已知/(一2,4)1(3,—1),C(—3,—4),设C=b,CA=c^a=mb+nc

(m^n£R),贝I]m+n=・

【解析】由已知得4=(5「5)乃=(—6「3)«=(1,8).

mb+nc={—6m+n^—3m+8n)^

•.厂"：厂5'〈解得产=学

(—3m+Sn=-5,Ln=—1.

•\m+n=­2.

【答案】-2

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-0^

【名师点拨】平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法

则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向

量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过

列方程(组)来进行求解.

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°々十又寸训I练24

1.(2020•广东中山月考)已知〃=(1,3)力=(2；),则1〃+2川=(C)

A.V14B.V34

C.V41D.2V6

【解析】因为”=(1,3),6=(2,》

所以。+2A=(5,4),

贝！!|〃+2臼=|(5,4)|=，52+42=故选C.

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2.已知点/(0,1)/(3,2),向量前=(—4,—3),则向量就=(A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(—1,4)D.(l,4)

【解析】⑴由题意得近=(3,1),

所以BC=4C—ZB=(—4,—3)—(3,1户(一7,—4).故选A.

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3

3.已知"(3,—2),N(—5,—1),而=，则P点坐标为」T—5

【解析】设尸(w),则加=(*—3产2),加=(—8,1),

•••加=^MN=|(-84)=(-4,|).

%―3=—4,X=-1

1

.・y+2

一2

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考向3平面向量共线的坐标表示

。典型例题34

已知4=(2,0)乃=(1,2).

(1)求4+3生

(2)当A为何实数时,。一〃与a+3〃平行，平行时它们是同向还是

反向？

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【解析】(1)〃+3〃=(2,0)+3(1,2)=(16).

(2)而一力=网2,0)—(1,2)=(2A—1,一2).

ka—b与a+3b平行，则6(2〃-1)一5乂(-2)=0,解得〃=一9.

当1时，有一,一力=-*+3力)，

故当仁一工时，两向量平行，此时它们是反向的.

3

【名师点拨】如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利

用“若〃=(巧Ji)乃=(*2仍卜则〃〃。的充要条件是对2=*W解题

比较方便.

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拉）

e针对训练3e

1.已知向量〃=（1㈤乃=（孙2）,若〃H4则实数股等于（C）

A.-V2B.V2

C—VI或/D.0

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2.已知向量励=（3,—4）,0万=（6,—3）,沆=（加,加+1）,若而||沆，则实

数m的值为（A）

A.--B.--

24

C-D1

【解析】VAB=亦一瓦?=（3,1）,沆=（阳,阳+1）,

若四||泥，则阳=3（加+1）,解得m=--.

2

导航

3.已知向量瓦石(〃,12),丽=(4,5),沆=(一用10),且A,B,C三点共线，则

〃的值是(D)

【解析】AB=OB-OA=(4-k-7\

AC=OC-OA=(-2k-2).

9

：A^C三点共线,•••ABf前共线，

—2x(4—〃)=—7x(—2。)，解得A=—|.

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二学二二二二二业.二二二二二达标

1.(2019•广东惠州学业水平模拟)已知向量〃=(2」)建+2力=(8,7),

则力=(c)

A.(l,3)B.(2,3)

C.(3,3)D.(4,3)

［解析】・•・2A=(8,7)-〃=(8,7)-(2,1)=(6,6),

•・・〃=(3,3).

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2.(20171月广东学业水平测试)已知三点/(—3,3)1(0,1)和。(1,0),

则通+丽=(A)

A.5B.4

C.V13+V2D.V13-V2

【解析】•••丽=(3,—2),或=(1,—1),

：.AB+前=(4,—3),：.\AB+前|="2+(—3)2=5.

导航

-----

3.(2020•广东东莞学业水平模拟)已知四边形48co为平行四

边形，其中4(5,—1),5(—1,7),C(l,2),则顶点O的坐标为(D)

A.(-7,0)B.(7,6)

C.(6,7)D.(7,-6)

【解析】设O(w),因为而=前,

所以(x—5j+l)=(2「5),

所以x=7/=—6・

所以刀(7,一6).

匚瞥

4.在△46C中3/是48边所在直线上任意一点，若国=一2襦+

沅瓦则2=(C)

A.lB.2C.3D.4

【解析】■:△4BC中网是4B边所在直线上任意一点，

•••存在实数"，使得彳而=〃祈瓦即加一石＜="(屈一丽5.

化简得由=—CA+上-而，

1+〃1+〃

VCM=-2CA+2CB,

二结合平面向量基本定理，得I-2’解得加3,〃=—李

1+〃

5.设向量〃=(1,3)乃=(-2内上若。H〃，则阳=—6.

【解析】〃〃。=1义阳—3X(—2)=0,则阳=—6.

6.(2019•广东惠州学业水平模拟)已知AC为平行四边形4BCD的

一条对角线，且孤⑵4),市=(1,3),则|而|=鱼.

【解析】由ZC为平行四边形ZKCZ)的一条对角线，

：.AB+AD=AC,

即而=前一四=(1,3)—(2,4尸(一1,—1),

贝！］|而尸J(-l)2+(—1)2=V2.

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7.（2020•广东梅州月考）设D为AABC所在平面内一点，前=4而，若

79

AD=^AB+与记则X+u=2

Z4f

导航

【解析】如图所示，由前=4而可知乃,CO三点在同一直线上，图形

如下：

根据题意及图形，可得

AD=AC+TD=AC+-^C

•.•赤至希+2就，•.・%

‘解得

(4

则为〃=(-0+5=|.

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8.（2020•广东韶关期末）已知在平行四边形4BCD中，前=）前,

3

一一一小_Z

则x—y=3.

【解析】9：AE=AB+^E=AB+-BC,

3

AB=^C=就一前，

----->----->------>1----->------>4------>

：.AE=BC-BD+-BC=-BD+-BC,

33

।,I—•4

由4E=W?£H^BC,得尸一1/=-，

3

考点3平面向量的数量积及其应用

■£■夯■：£■■■实三三三三基三三三础

1.平面向量数量积的有关概念

⑴向量的夹角:已知两个非零向量〃和仇记瓦?演九则

AAOB=Q(0°W0^180°)叫做向量〃与力

的夹角.

(2)数量积的定义:已知两个非零向量〃与仇它们的夹角为仇

则数量同回cos夕叫做〃与力的数量积(或内积工记作〃也即

a・b=同回cos，，规定零向量与任一向量的数量积为0,即

0・〃=0.

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(3)数量积的几何意义:数量积〃力等于〃的长度同与〃在〃的方

向上的投影回cose的乘积.

(4)向量的投影

10cos，叫做向量〃在力方向上的投影.

回cos，叫做向量力在〃方向上的投影.

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1

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量〃=(修J。步=(*2科卜，为向量〃步的夹角.

⑴数量积:〃力=同|xix2+yiyi

(2)模:|C=，a・a=卜：+筠・

—+丫1，2

(3)夹角:cos，=黑=J*+%，］的+於.

同网-----------------

(4)两非零向量a±b的充要条件“力=00阿*2要逮2=0.

(5)|〃•臼W同(当且仅当a//b时等号成立)=闻*2打。2反

xl+yj-xj+yl

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拉）

3.平面向量数量积的运算律

力〃（交换律）.

（2）Xab=X（a・b）=a・（劝）（结合律）.

（3）（〃+〃）・c=a・c+b・c（分配律）.

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提二二二二二升.二二二二二能二二二二二力

考向1平面向量数量积的运算

.典型例题1.

在平面直角坐标系xOy中，已知四边形4BCD是平行四边形，同=

(1,—2),同=(2,1),则而-AC=()

A.5B.4C.3D.2

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【解析】:四边形4BCD为平行四边形,

：.AC=AB+而=(1,一2)+(2/)=(3,—1).

：.AD•前=(2,1)・(3,一l)=2x3+lx(—1)=5.

【答案】A

【名师点拨】求两个向量的数量积有三种方法

(1)利用定义刈协=10回cos0.

(2)利用向量的坐标运算必仍书必+为处

(3)利用数量积的几何意义.

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4针对训练14

1.向量〃=(1,—1)乃=(—1,2),则(2〃+力)・a=(C)

A.-lB.0

C.lD.2

【解析】因为2什〃=2(1,—1)+(—1,2)=(2,—2)+(—1,2)=(1,0),

所以(2a+/0・a=(L0)(L-D=lXl+0X(-l)=L

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2.如图,AA6C中HC=3乃。=4,NC=90。。是BC的中点，则瓦＜•

AD=（D）

A.0

B.5V13

C.17

D.-17

【解析】BA-AD=（BC+CA）（AC+CD）

=BCAC+^C^CD+CAAC+CATD

=0+4X2Xcos7i+3X3Xcos7t+0=—17.

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考向2用数量积解决向量的垂直、夹角问题

e典型例题2e

⑴设〃=（1,2）斤（1/）/=〃+也若〃-LG则实数A的值等于（）

_3

B.--

23

5D.2

32

（2）（2019•广东潮州学业水平模拟）非零向量*b满足同=迎向，且（a—

力）_1_（2。+3〃）,则a与b夹角的大小为（）

B.-

34

C.—D.-

34

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［解析］(1)打=(1,2)乃=(1/)«=〃+1力=(1+1,2+1)，

2

由〃_LG可得力•-1+〃+2+仁0,，仁一-.

2

(2)若(a(2〃+3〃),贝可(a—by(2〃+3〃)=0,即有2a2—3b2+a,〃=0,

由同=\。凤可得〃2=2%即有〃・〃=—%

ab—b2V2

cos<^bf>=——=产——,

'\a\-\b\y［2b22,

由OWvqQWTT,可得〃与力夹角的大小为史.

4

【答案】(1)A(2)D

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【名师点拨】用数量积解决向量垂直、夹角问题的策略

⑴根据平面向量数量积的性质:若〃，分为非零向量,cosA照(夹角

回网

公式),〃_1〃=。m=0等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角

度、垂直的问题.

(2)关于坐标的运算乃=(*2/2),则a_L力U2=0.

cosv心=户多,向量夹角范围是［0川.

Jxi+yiJx2+y2

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4针对训练24

1.已知向量瓦i=(py),FC=(黑)则N/5c=(A)

A.30°B.45°

C.60°D.120°

【解析】•••/BC=,而|=1,|就|=1,

4

・“s4BC馈翻=*，N"C=30。

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2.已知向量〃乃,其中同=鱼,|臼=2,且(a—A)_L〃，则向量a与b的夹角

是(B)

TI

A■B.-

64

n

•_

2

【解析】'.*(a—6)±—6),a=0,

2ab

/.a*b=a=2^os<a^b>=i'Ui=-^==—.

''|叶网2V22

TT

V<a^b>£[OR],，vq,A>=).

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3.(2018•广东广州学业水平)已知向量〃=(2,—3)乃=(叫一2),且

a_L仇贝！|阳=-3.

【解析】根据题意晌量。=(2,—3)m=(叫一2),

若QJL4则有®b=2m+(—3)X(—2)=0,

解可得阳=—3.

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考向3平面向量的模及其应用

。典型例题3。

设平面向量«=(cosa,sin”)(0Wav2初力=(—|,亨)，且a与b不共线.

若两个向量行a+力与a—43b的模相等，求角a.

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【解析】V\y/3a+b\=\a-y/3b\y

/.(y/3a+b)2=(a—V3Z>)2,

即3a2+2V3a•b+b2=a2—2V3a,b+3b2.

又|«|=Vcos2a+sin2a=1,|A|=^j|+|

•力=0,

•1IV3・八日口V3

••—cosa+—sina=0和tana=­.

22’3

又0W〃v27t,a=-或—.

66

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【名师点拨】求向量的模的两种基本策略

⑴字母表示下的运算:利用回2=〃2，将向量的模的运算转化为

向量与向量的数量积的问题.______

(2)坐标表示下的运算:若贝！］同+y2.

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e针对训练3e

1.已知单位向量q,仇其夹角为三,则|什"=(B)

A.3B.V3

C.2D.V2

［解析］|a+b\=y/a2+2a-b+b2

=Jl+2xlxlxcos+1=V3.

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2.设x三R,向量〃=(x2),且〃±4则|〃+力|=(B)

A.V5B.V10

C.2V5D.10

【解析】JL仇・”=2.

：.\a+b\=\(3-l)\=V10.

3.(2019•广东潮州学业水平模拟)已知向量〃=(1,-1功=(2,1),

向量c=2〃+4贝！||c|=V17

【解析】c=(4,—l),，|c|=g.

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考向4平面向量数量积的综合应用

。典型例题4。

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2M为6c的中点，若N为正方

形内（含边界）任意一点，则翁­丽的最大值为.

AB

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【解析】如图，建立直角坐标系.

^•AM-AN=(x^y),(2J)=2x+y.

••0WxW2,0W/W2,

/.当x=2,y=2时，彳祈•丽的最大值为

【答案】6

【名师点拨】对于一些比较复杂的平面向量的数量积，通过

建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决,是一种很简捷

的做法.

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e针对训练49

1.已知向量〃=(1,b),力=(0,1),则当后[一b,2]时,|4—力4的取值范

围是.

【解析】•・•，£[—g,2],

/.|a-/-A|=|(l,V3)-(0,/)|=|(l,V3-Z)|=1+(V3-t)2e[l,V13].

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2.已知正方形ABCD的边长为1,点E是48边上的动点，则波•CB

的值为1・灰的最大值为1・

【解析】以。为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示.

则力(O,O)M(1,O)乃(1,1),C(O,1),斗

设颐lw)(OW〃Wl).C-------------

所以万万•丽=(1,〃)・(1,0)=1,

"DE反=(1,〃)・(O,1)=〃W1,

——-------►

故加•前的最大值为1.DAx

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拉）

一二学二二二二二业二二二二二达二二二二二标---

1.（2019•广东阳江学业水平模拟）若正方形4BCD的边长为1,则

前•前等于（B）

A"

ATB.1

C.V2D.2

【解析】正方形4BC。的边长为1,

则前前=|前|・|前Icosv前,前＞=V^X1X0=1.故选B.

2

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拉)

2.(2020•广东惠州月考)已知平面内三点4(2,1)乃(6,4),C(l,16),则向

量同在前的方向上的投影为(C)

1633

【解析】•••丽=(4,3),前=(—5,12),

：.AB前=—20+36=16质|=13,

•••福在前方向上的投影为AB:BC卷故选c

\BC\

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3.（2019•广东汕头学业水平模拟）设非零向量〃仍满足|〃+力|=|〃

一〃,则（A）

A.a-LbB.同=回

C.a/lbD.\a\>\b\

【解析】■:设非零向量⑪满足|a+A|=|"一方|,

.'-|a+6|2=|a—

a2+b2+2a-b=a2+b2—2〃・A,

・二4〃•方=0/・a•方

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4.(2018・1月广东学业水平测试)已知向量〃=(1,1)乃=(0,2),则下

列结论正确的是(B)

A.aIIbB.(2〃-b)工b

C.\a\=\b\D.a-b=3

【解析】对于A项,1X2-0XI和滞误；

对于B项,2〃一〃=(2,0)斤(0,2),贝!|2X0+0X2=0=(2〃-A)，仇正

确；

对于C项,|。|=短|b|=2,错误;

对于D项/力=1X0+1X2=2,错误.故选B.

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5.(2020•广东汕尾月考)已知向量。与b的夹角为!，且同=2|臼=2,则

O

a-b=(A)

A.V3B.l

C.2V3D.2

【解析】由已知，可得同=2加|=17

贝1]〃•力=|〃||A|cosvq/>=2xlxco§7—值,故选A.

6

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6.（2020•广东梅州模拟）在八46。中，同=（遮,3）,而=（一6,3）,则

CACB=6

【解析】因为方=TB+BA=CB-AB=（-V3,3）-（V33）

=（-2V3,0）,

所以谕•）=（—271,0）・（一71,3尸6.故答案为6.

7.（2019•广东佛山学业水平模拟）已知同=2,回=3必力的夹角为

120°，则|2〃+"=.

【解析】同=2,网=3必〃的夹角为120°厕

|2tz+A|=V4a2+4ab+b2=116+4x2x3x（一|）+9=V13.

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8.（2019•广东惠州学业水平模拟）在△/EC中前|=3,|而|=50是

边的中点,