2023年九年级中考数学重难点突破-平行四边形的面积

2023年中考数学重难点突破—平行四边形的面积(1)

一、综合题

1.如图，在四边形ABCD中,ZDCB=90°,ADBC,点E在BC上，ABDE,AE

平分NBAD.

(1)求证：四边形ABED为菱形；

3

(2)连接BD,交AE于点O.若AE=6,sinZDBE=j，求CD的长.

2.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分/ABC,连接CE,已

(2)求平行四边形ABCD的面积；

3.如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,AD1CD,ZB=45°,延长CD到点E,使

DE=DA,连接AE.

(1)求证：AE=BC；

(2)若AB=3,CD=1,求四边形ABCE的面积.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为A(-2,3)

B(-3,1),C(0,-2).

(1)将一ABC向右平移4个单位长度后得到44G,请画出..A4G；

(2)在平移的过程中，求ABC扫过的面积；

(3)请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点。的坐

标.

5.如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA=8,OC=40,ZAOC=

45。，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒④个单位的

速度从点O向点C运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t.

(2)设小APQ的面积是y,求y关于t的关系式；

(3)当t为何值时，AP1CB?此时，在平面内是否存在点M,使得以A、P、Q、

M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说

明理由.

6.如图1,在矩形ABCD中，AB=4,AO=3,沿对角线AC剪开，再把

_ABC沿AB方向平移，得到图2,其中A。交AC于E,AC交BC

于F.

(1)在图2中，除ABC与CD4'外，指出还有哪几对全等三角形(不能添

加辅助线和字母),并选择一对加以证明；

(2)设=x.①当%为何值时，四边形AECF是菱形？②设四边形

AECF的面积为y,求>的最大值.

7.如图，,A3CO的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，已知0A=3,OB=5,

0D=4.

(1).ABC。的面积为;

(2)如图1,点E是BC边上的一点，若△ABE的面积是ABCD的;，求点E

的坐标；

(3)如图2,将4AOD绕点。顺时针旋转，旋转得△AiOD),在整个旋转过程

中，能否使以点0、Ai、DuB为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点Ai的坐

标；若不能，请说明理由.

8.如图所示，ABC是一个边长为4的等边三角形，D是直线BC边上一点，以AO

为边作.ADE,使AE=ADNZME=120°,并以AB,AE为边作平行四边形

ABFE.

(1)当点D在线段上时，AO交BE于点G,求证:.阳的BCF;

(2)求线段8歹的最小值；

(3)当直线AE与二ABC的一边垂直时，请直接写出平行四边形芯的面积.

9.如图，延长CJABCD的边DC到点E,使CE=DC,连结AE,交BC于点F,连结

AC,BE.

(1)求证：BF=CF；

(2)若AB=2,AD=4,且NAFC=2ZD,求ABCD的面积.

10.如图，在RtAAOB中，点C为线段AB的中点，OB=4,/A=30。，点P从点O

出发以每秒1个单位的速度先沿OB方向运动到点B,再沿BA方向运动到终点A,设

点P运动时间为t秒，以OP,OC为邻边构造cOPDC.

L5D

1/\IZ_△

()'B°PB

(1)当点P在线段OB上时，SoOPDC=(用含t的代数式表示)；

(2)在整个运动过程中，当nOPDC的面积为6百时，求t的值；

(3)连结OD,作点C关于直线OD的对称点C(点C与点C不重合)，当点C落

在^AOB的边上时，求t的值(直接写出答案)

11.如图，△ABC的三个顶点坐标为：A(-3,0),B(l,一2),C(4,4)“ABC内

有点P(m,n)经过平移后的对应点为Pi(m-3,n+4),将^ABC做同样平移得到

(2)三角形AiBiCi的面积为;

(3)连接AAi,CC,,四边形AiACC的面积为

(4)已知PPi=5,D是CC上的一点，则AD的长的最小值为.

12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,NB=30。，点P在

BC上由点B向点C出发，速度为每秒2cm；点Q在边AD上，同时由点D向点A

运动，速度为每秒1cm,当点P运动到点C时，P、Q同时停止运动，连接PQ,

设运动时间为t秒.

(1)当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？

(2)当t为何值时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三？

(3)连接AP,是否存在某一时刻t,使DABP为等腰三角形？并求出此刻t的

值.

4

13.如图①,已知直线y=§x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线

y=℃2+公+。经过A,C两点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线1=-1,

D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m.

②

(1)求抛物线的表达式；

(2)求四边形ABC。面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)过点D向y轴作垂线(如图②)，垂足为点E,是否存在点D,使CDE与

二40C相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由.

14.中心为。的正六边形ABCDEF的半径为6cm.点P,Q同时分别从A,D

两点出发，以lcm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动，连接

PB,PE,QB,QE,设运动时间为/(s).

(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；

(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.

15.如图(1),在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),将线

段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD,连接

(1)求点C、点D的坐标及S四边形ABDC；

(2)点Q在y轴上，且SAQAB=S四边形ABDC,求出点Q的坐标；

(3)如图(2),点P是线段BD上任意一个点(不与B、D重合)，连接PC、

PO,试探索/DCP、ZCPOv/BOP之间的关系，并证明你的结论.

16.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点0,AE平分NBAD,交BC

于点E,且NADC=6()。.

D

BEC

(1)求证：AB=AE；

(2)若U),AC=4百，连接OE;

BC

①若m=1，求平行四边ABCD的面积；

②设S弋形=卜，试求k与m满足的关系.

17.若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图

形的“和谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”(例

如圆的直径就是圆的“和谐线段”)

问题探究：

D

(1)如图①,已知△ABC中，AB=6,BC=8,ZB=90°,请写出△ABC的两条

“和谐线段”的长.

(2)如图②,平行四边形ABCD中,AB=6,BC=8,ZB=60°,请直接写出该

平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值和最小值；

问题解决

(3)如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图，其中AB=2,CD=

3

10,ZA=135°,ZB=90°,tanC=:,现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN

(小道的宽度不计)，入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形

ABCD“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以

CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点

M的位置（即求CM的长）.

18.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（-3,0）,（0,6）.动点P从

点0出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线

B0方向以每秒2个单位的速度运动，以CP,CO为邻边构造平行四边形PCOD,在线

段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.

（1）直接写出当点C运动到线段0B的中点时，求t的值及点E的坐标.

（2）当点C在线段OB上运动时，四边形ADEC的面积为S.

①求证：四边形ADEC为平行四边形.

②写出s与t的函数关系式，并求出t的取值范围.

（3）是否存在某一时刻，使OC是PC的一半？若存在，求出t的值，若不存在，

请说明理由.

19.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,4），点8的坐标为（3,0）.三角形

AOB中任意的一点P（%o,%）经平移的对应点为6（%）+2,%），并且点A、。、B的

对应点分别为DE,F.

(2)画出平移后的三角形DEE，并写出。，E,E的坐标；

(3)求线段。4在平移过程中扫过的面积.

20.如图①，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(.1,0),(3,0),现同时

将点A,8分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,8的对应点

(2)在y轴上是否存在一点Q,连接QA,QB,使4AQB的面积等于四边形ABDC

的面积的一半？若存在这样的点，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图②,点P是线段BD上一个动点，连接PC,PO,当点P在线段BD上

运动时，试探究NOPC与/PC。,NP08的数量关系，并证明你的结论.

答案解析部分

1.【答案】(1)证明：:ADBC,ABDE,

・・・四边形ABED为平行四边形，

；AE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE.

VADBC,

・・・NDAE二NAEB,

AZBAE=ZAEB,

JAB=BE,

・・・口ABED是菱形；

(2)解：如图，连接BD,

AAE1BD,AO=OE=-AE=3,OB=OD,

2

.,OE3

/.sinZDBE=----=—,

BE5

・・・BE=5,

^OB=ylBE2-OE2=V52-32=4,

ABD=2OB=8,

・・・ZDCB=90°,

'S菱形==,

...一x6x8=5・CQ

2

CD=—.

5

2.【答案】(1)解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,

NAEB=NCBE,

VBE平分NABC,

AZABE=ZAEB,

，AB=AE=10;

(2)解：•.,四边形ABCD是平行四边形.

.*.CD=AB=10,

在^CED中，CD=10,DE=6,CE=8,

.,.ED2+CE2=CD2,

ZCED=90°.

；.CE_LAD,

平行四边形ABCD的面积=AD・CE=(10+6)x8=128.

3.【答案】(1)证明：AB//CD,N3=45。,

.•.NC+ZB=180。，

NC=135°

DE=DA,ADLCD,

.•.ZE=45。,

ZE+ZC=180°,

AE//BC,

.••四边形ABCE是平行四边形，

.\AE=BC.

(2)解：：ZE=ZB=45°

又ZADE=90°

.•.NE=NZM£=45°

:.AD=ED

，AD=ED=AB-CD=3-1=2

平行四边形ABCE面积为：ABxAD=3x2=6.

4.【答案】(1)解：A(-2,3),B(-3,1),C(0,-2)三点向右平移4个单位后的

对应点A，B］，G的坐标分别为(2,3),(1,1),(4,-2),依次连接这三个点，

A8©即为所求，如图所示：

(l+3)x511

=4x5+——-----xlx2--x3x3

222

=20+(10-1-4.5)=24.5

(3)解：①以AB、BC为邻边的平行四边形ABCD,贝ijAB=CD,AB〃CD

由于B点先向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度可得点A,故把C点先向

上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度可得点D,此时点D的坐标为(1,0);

②以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC,贝ijAB=CD,AB〃CD

由于A点先向下平移2个单位长度再向左平移1个单位长度可得点B,故把C点先向

下平移2个单位长度再向左平移1个单位长度可得点D,此时点D的坐标为

(一1,一4);

③以AC、BC为邻边的平行四边形ACBD,贝ljAC=BD,AC〃BD

由于C点先向上平移5个单位长度再向左平移2个单位长度可得点A,故把B点先向

上平移5个单位长度再向左平移2个单位长度可得点D,此时点D的坐标为

(-5,6);

综上所述，点D的坐标为(1。)，(-L-4),(-5,6).

5.【答案】(1)解：如图1,作CDLOA于点D,则NODC=90。，

ZDOC=ZDCO=45°,

.*.OD=CD,

VOD2+CD2=OC2,OC=4V2,

.".2CD2=(4,/2)2,

.\OD=CD=4,

.­.D(4,0),C(4,4),

；四边形OABC是平行四边形，

...BC〃OA,BC=OA=8,

AxB=4+8=12,

AB(12,4).

(2)解：如图2,过点Q作QELx轴于点E,交BC的延长线于点F,贝ljEF=4,

AZEOQ=ZEQO=45°,

.\OE=QE,

VOE2+QE2=OQ2,OQ=V2t,

・・・2QE2=(V2t)2,

AOE=QE=t,

.\QF=4.t,

,.•SAAPQ二S平行四边形OABC-SAOAQ-SACPQ-SAAPB,CP=2t,BP=8-2t,

•**y—8x4-—x8t.—x2t(4.t).—x4(8-2t),

Ay=t2.4t+16(0<t<4).

(3)解：存在，点M的坐标为(2,一2)或(2,6)或(14,2).

6.【答案】(1)vCDEg...ABF,AAE经二C'CF,

证明•••图1中，AB//CD,：.ZBAC^ZDCA.

ZDCA=NDC'A,ABAC=DC'A';

•••ZA4'E=NC'CF=90。，A4'=CC,

：.^AAE四二C'CF.

(2)解：①•••AB=4,AD=3,ZBAC=90°,

...AC=5,

•；AD〃BC,

LAA'E^AABC,

.A'E

.xA'E

••---------

43'

A'E=—x,

4

*/AF〃AC,

/.△BA'Fs—AC,

.BA'A'F

.4-xA'F

AF=*(4-x),

4

•.•四边形A'ECF是菱形，

AA!F=AE,

.5,“、3

..：(4-x)=：x,

44

解得x=2.5;

(2)VAB^CD,AD〃BC,

.♦•四边形A'ECF是平行四边形

33,

y=A'ExA'B=-x\4-x)=--(x-2)'+3

•••y最大值为3.

7.【答案】(1)32

(2)解：过点E作EF±AB于F,

D.----------------------7C

AX/,

A0BFx

sAM=asabcd=8，

A-xABxEF=8,

2

.,.EF=2,

VOA=3,OB=5,OD=4,

.••点B(5,0),点C(8,4),

设BC解析式：y=kx+b

.(Q=5k+b

'•[4=8左+人'

.4,20

..k7=一,b=-----

33

420

:.y=-x-----,

33

当y=2时，X=y,

E除2)

(3)解：共可以分三种情况：

第一种情况：

VOA=3,0D=4,

.♦.AD=5,

如图，若四边形OAQiB是平行四边形AiDi交y轴于点F,

•.•将△AOD绕点O顺时针旋转，旋转得△AQD,

A|O=AO=3,ZOAD=z.Ai,

四边形OAQiB是平行四边形，

・・・A|Di〃AB,

AZAiFD=ZAiFO=ZAOF=90°,且NAi=NOAD,

/.△AiFO^AAOD,

AD

Ao

9

AFFo

==1一2

5-5

•.•点Ai在第二象限,

第二种情况：

如图，若四边形AQQB是平行四边形，A.D,交y轴于点F,

•.•将△AOD绕点0顺时针旋转，旋转得△AQDi,

AAiO=AO=3,/OAD=NDiAQ,

四边形OBAQi是平行四边形，

.♦.A|Di〃AB,

ZAiFO=ZAOF=ZAOD=90°,且/OAD=ZD)AiO,

...△AiFO^AAOD,

.\0\FOF

"'~AD~~AO~~OD'

•3.4尸FO

••二一亍一丁,

912

.-.AF=-,F0=—

,55

•.•点Ai在第四象限，

第三种情况:

如图，若OAIBDI是平行四边形，过点Ai作AiE±BA于点E,

lOAiBDi是平行四边形,且OAQDi=90。,

...OAIBDI是矩形，

OD产AiB=4,ZOA,B=90°,

/.S'op--xOBxAtE--xA]OxAiB

3x4=5xAiE,

4Z7-12

・”=5

9

OE==

5

•.•点Al在第一象限，

912912912

・•.或者4《，一彳）或者46，不）.

8.【答案】（1）证明：四边形AB/话是平行四边形，

:.BF=AE,BF//AE,

AE^AD,

:.BF=AD,

AABC是等边三角形，

：.AB=BC,ZABC=60°,即NCBP+ZABG=60°,

BF//AE,ZZM£=120°,

.-.ZAGF=60°,

:.ZABD+ZBAG=^）°,

:.NCBF=/BAD,

在^ABD和^BCF中，

BF=AF

<NCBF=ZBAD,

BC=AB

:.\ABD^\BCF（SAS｝；

（2）解：由（1）知AABD^ABCF,

:.BF=AD,

3/最小时，AD也最小，此时ADLBC，如图：

：.ZABD=O)°,

:.AD=号义出=20,

BF=273,

故答案为：；

(3)解：直线AE与AABC的一边垂直，分三种情况：

①AEJ.AC时，如图：

AE//BF,

:.ZAFB=ZCAE^9Q0,

又NBAC=6()°,

在RtAABF中，

AF=-AB=4x-=2,BF=—=4x—=273,

2222

,SABFE=AE，BF=44,

②AE_LAB时，如图：

E

DBC

此时NB4£=90°,平行四边形ABEE为矩形，

在RtAABE中，NABC=60。，

AE=y/3AB=473,

>'-ABFE=AE=16^/3,

③AE_LBC时，延长E4交BC于”,如图：

此时NEHD=90°,

.-.ZH4C=30°,

ND4E=120。，

.♦.NC4£>=3()°,

ZADH=180°-ZAHD-ZHAC-ZCAD=30°,

RtAAHC中，C//=|AC=2,AH=6CH=26,

;.BH=2,

RtAAHD中，AO=2AH=4G,

/.BF=AE=AD=4y/3,

：.S油FE=BF・BH=8#，

综上所述，直线A石与AABC的一边垂直，AB/芯的面积为4g或16百或8百.

9.【答案】（1）证明：•・・四边形ABCD是平行四边形，

.,.AB//CD,AB二CD.

VCE=DC,

・・・AB=EC,AB〃EC,

・・・四边形ABEC是平行四边形，

ABF=CF.

（2）解：由（1）知四边形ABEC是平行四边形，

・・・FA=FE,FB=FC.

・・・四边形ABCD是平行四边形

AZABC=ZD.

又TNAFC=2ND,

AZAFC=2ZABC.

VZAFC=ZABC+ZBAF,

.\ZABC=ZBAF,

AFA=FB,

二•FA=FE=FB=FC,

AAE=BC,

・・・四边形ABEC是矩形，

・・・ZBAC=90°

・・・BC=AD=4,

・•・AC=VBC2-AB2=742-22=2yf3,

・•・SAncD=AB•AC=2x2y/3=4y/3

10.【答案】(1)2百t

(2)解：当点P在OB上时，26t=66,解得八=3.

如图2所示：当点P在AB上时.过点O作OEJ_BC,垂足为E.

•••△OBC为等边三角形，OELBC,

/.OE==26

平行四边形的面积=2ACOP的面积=2x；xCP-OE=2CP=6Q

.♦.CP=3,PB=1.

：.t2=5.

当点P位于点P处时，P'B=3+4=7,

：.t3=4+7=11.

(3)40

(4)8

12.【答案】(1)解：由P、Q的运动方式得：BP=(2f)cm,DQ=tcm,

••・当点P运动到点C时，P、Q同时停止运动，

：.Q<t<6,

在平行四边形ABCD中，BC=12cm,

AD=3C=12cm,贝ijAQ=(12—f)cm,

若四边形ABPQ为平行四边形，

则BP=AQ,

即2/=12-/,解得：t=4

...当，=4时，四边形ABPQ是平行四边形；

(2)解：如图1,过点A作AE1BC于E,

AE-3cm,

四边形ABCD是平行四边形，BC=12cm,

2

SABCD=BC-AE=12x3=36cm,

由(1)得：BP=(2t)cm,AQ=(12-f)cm,

113

2

；.S四边形ABPQ=~{BP+AQ),AE=—(2/+12—/)x3=(—/+18)cm,

若四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三，

33

即-Z+18=-x36,解得：t=6,

.•.当t=6时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三；

(3)解：存在某一时刻1,使.ABP为等腰三角形，

若ABP为等腰三角形，则AB=BP或AP=BP或AB^AP,

①当AB=BP时，则BP=6cm,

即2t=6,解得：t=3;

②当AP=8P时，如图2，过P作PM垂直于AB,垂足为点M,

；AP=BP,PM±AB

BM=—AB=3cm,

2

■,NB=30。，

BP-2Gcm,

则2f=26，解得：t=6

...E为BP中点，贝IJBP=2BE,

在RtABE中，ZB=30°,AB=6cm,AE=3cm,

BE=3百cm,BP=2BE=6&cm,

则2t=6y/3,解得：t—3>/3,

所以，当。=3或g或时，MBP为等腰三角形.

4

13.【答案】（1）解：把x=0代入>=耳》+4中，得y=4.

.••点C坐标为（0,4）.

4

把y=o代入y=§x+4中，得％=—3.

.•.点A坐标为（一3,0）.

•••抛物线对称轴为直线x=T,

b

=-1,即〃=2。.

2a

由题意列方程组，得

4

a=——，

9。一3。+。=0,3

,8

<b=2a解得<b=——，

f3

c=4.

c=4.

48

...抛物线表达式为y=—；/9一x+4.

33

(2)解：连接。。，

•;点B与点A(-3,0)关于直线1=-1对称，

.••点B的坐标为(1,0).

由题意，点D的坐标为(m,--m2--/n+4).

S四边形8ACD-SbOAD+S&OCD+S&OBC

=—x3x(--m2--727+4)+—x4x(~771)+—xlx4

23322

=-2/?i2—6〃z+8

325

=—2(/n+—)2H---

22

V-2<0,

3?5

・・・当相=一时，四边形ABC。面积最大值为k.

22

3

・••此时点D的坐标为(一十5).

2

(3)解：存在

由题意可得：OA=3,0C=4,DE=-m,

；_CDE与一A。。相似，ZAOC=ZCED=90°

_CDEs二a。。或ASESAO。

.CEOA35CEOC4

.•---=----=----=----=一

DEOC4DEOA3

34

/.CE=—，〃或—m

43

3344

二・点。的坐标为(m,-—m+4)或(加,［机+4)或+或。%§"2+4)

,3八小r4834)8

JE(m,——m+4)代入y=——厂2——x+4,z得：——m+4=——nr——m+4

433433

回心23

解得加=一彳；

16

.3.428342

把(加，1机+4)代1x入y=一耳1--x+4,得：—m+4=--—m+4

解得〃2=一上；

lo

..4八小r428..4428.

jE(tn,——根+4)代入y=——x——x+4,得：——m+4=——m~——m+4

333333

解得加=一1；

,/4八小r428..4.428.

把(加，一机+4)代入y=——x——x+4,得：—m+4=——m~——m+4

解得加=一3,舍去;

，m的值是一7或-1或-77.

1616

14.【答案】(1)证明：：中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm,

,AB=BC=CD=DE=EF=FA,ZA=ZABC=ZC=ZD=ZDEF=ZF,

•・•点P,Q同时分别从A,D两点出发，以lcm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动，

AP=DQ=t,PF=QC=6-t,

在^ABP^ADEQ中，

AB=DE

<ZA=ZDJ

AP=DQ

/.△ABP^ADEQ(SAS),

；.BP=EQ,同理可证PE=QB,

二四边形PEQB是平行四边形；

(2)由(1)可知四边形PEQB是平行四边形

.•.当NBQE=90。时，四边形PEQB是矩形

过点B,点E作BN±CD,EM±CD,连接OC,OD,过点0作OHLCD

二ZBNQ=ZQME=90°,

ZBQN+ZNBQ=90°,ZBQN+ZEQM=90°

AZNBQ=ZEQM

/.△NBQ^AMQE

.BN_QM

"~NQ~~EM

又•••正六边形ABCDEF的半径为6,

...正六边形ABCDEF的各边为6,ZBCQ=ZEDQ=120°

.•.在RtABNC和RtAEDM中，ZNBC=ZDEM=30°

；.NC=DM=-BC=3,BN=EM=3#

2

.3G3+x

,解得：

,.R藐

玉=6,x2=0（舍去）

即当P与F重合，Q与C重合时，四边形PEQB是矩形

此时矩形PEQB的面积为5CCE=6x6>/3=36V3

•在正六边形ABCDEF中，ZCOD=60°,OC=OD

/.△OCD是等边三角形，OC=OD=CD=6,OH=3G

S六边形ABCDEF二—XCDxOHx6

2

=—x6x3>/3x6

2

=54百,

•*-S矩形PBQE:S六边形ABCDEF二3673:540=2:3

15.【答案】(1)解：•..线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长

度，得到线段CD

且A(」，0),B(3,0)

.­.C(0,2),D(4,2)

VAB=4,OC=2

AS四边形ABDC=ABXOC=8.

(2)解：・・•点Q在y轴上，设Q(0,m)

/.OQ=|m|

，SAQAB=—xABxOQ二—x4x|in|=2|m|

22

,**S四边形ABDC=8

/.2|m|=8

・\m=4或m=.4

；.Q(0,4^Q(0,.4).

(3)解：如图

•；线段CD是线段AB平移得到

；.CD〃AB

作PE〃AB

，CD〃PE

,ZCPE=ZDCP

VPE/7AB

...NOPE=/BOP

ZCPO=ZCPE+ZOPE=ZDCP+ZBOP

ZCPO=ZDCP+ZBOP.

16.【答案】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，

,ZABC=ZADC=60°,ZBAD=120°,

：AE平分NBAD,

AZBAE=ZEAD=60°

.•.△ABE是等边三角形，

AAB=AE

皿AB1

(2)解：=m=-

nCZ

AAB=-BC,

2

AAE=BE=-BC,

2

AAE=CE,

VZABC=60°,

,AB1

VcosZABC=----=—,

BC2

J.ZBAC=90°,

当AC=4G时，AB=4,

.•.平行四边ABCD的面积=2SAABC=2X|AB・AC=4x473=1673;

②•••四边形ABCD是平行四边形，

••SAAOD=SABOC,SABOC=_SABOD,

「△ABE是等边三角形，

BE=AB=mBC,

•••△BOE的BE边上的高等于ABDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m

倍，

设BC边上的高为h,BC的长为b,

11hmbh

••SABCD=—XbhSAOBE~-X—xmb=

2224

bhmbh1m

S四边形OECD=SABCD-SAOBE=,-l(3­—)bh

244

1A也

-X-

•SAAOD-22xb4

.S四边形OECD

「SAOD2

2.m=k,

「•m+k=2.

17.【答案】（1）作4ABC的中线AE,BD,CF.线段AE,BD,CF都是△ABC的和谐

线段.

•••AC=762+82=1。，

.•.BD=1AC=5,AE=V62+42=2A/13,CF==乐.

(2)作AE1BC于E,CF1AB于F,连接AC,BD交于点O.经过点O的中线都是

平行四边形ABCD的“和谐线”.

在RtAABE中，：ZAEB=90°,AB=6,ZABE=60°,

AAE=AB«sin60°=373,

同法可求：CF=4g,

.••平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最小值为3百,

作DHLBC交BC的延长线于H.易知CH=BE=3,

在RtABDH中，BD=y/DH2+BH2=11，+(36丫=2后

在RSACE中，AC=VA£2+EC2=«36¥+52=2万.

二平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值为2737.

(3)如图③［中，作DE±BC于E,AF1DE于F.

D

图③.1

在RSCDE中，：CD=10,tanC=-

ADE=6,EC=8,

・・•四边形ABEF是矩形，

AAB=EF=2,

ADF=4,

VZDAB=135°,ZBAF=90°,

AZDAF=45°,

AAF=BE=DF=4,

ABC=4+8