2023年九年级数学中考：猜想证明综合压轴题

2023年九年级数学中考专题：猜想证明综合压轴题

1.(1)如图1,在正方形ABCD中，G是BC上一点(点G与8,C不重合)，AEA.DG

交DG于点E,CF_LZ)G交DG于点己试猜想线段AE,CF和所之间的数量关系，

并证明；

(2)在其余条件不变的基础上延长AE,交。C于点“，连接AG,BH,交于点P,

如图2,求证：AGLBH-,

(3)如图3是一块长为1米正方形铜板A5CD,由于磨损，该钢板的顶点8、C、。均

不能使用，王师傅计划过点A裁出一个形如AEG/的零件，其中E、F、G分别在AB、

CD、BC边上，且尸为AB的中点，GFLFE交于点E,连接AE,求王师傅能截出四边

形版7尸的最大面积是多少？

图1图2图3

2.综合与实践

问题情境：

综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同

学们的折纸过程：

动手操作：

步骤一：将正方形纸片A8CD(边长为4cm)对折，使得点A与点。重合，折痕为防，

再将纸片A8CO展开，得到图1.

步骤二：将图1中的纸片A8CQ的右上角沿着CE折叠，使点。落到点G的位置，连接

EG,CG,得到图2.

步骤三：在图2的基础上，延长EG与边48交于点”，得到图3.

(1)在图3中，连接"C,则NECH的度数为,48的长为.

(2)在图3的基础上延长CG与边AB交于点M,如图4,试猜想AM与之间的数量关

系，并说明理由；

(3)将图4中的正方形ABCD纸片过点G折叠，使点A落在边AD匕然后再将正方形纸

片ABC。展开，折痕PQ分别与边AE>,BC交于点、P,Q,求G。的长(直接写出答案).

3.轴对称变换是几何证明中重要的图形变换之一，即寻找对称轴，将对称轴的一侧图

形进行翻折，来构造满足条件的几何辅助线.

【例题】如图，0c是/AO8的平分线，且NO4C+NCBO=180。，试猜想AC与BC的

数量关系，并说明理由；

分析：将，A0C沿直线0C翻折，得到,C0E,通过相关定理即可得到结论.请猜想AC

与BC的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】

如图，A、。为线段8c同侧两点，NBAC=NBDC=60°,2ZACB+ZACD=]80°,若

AB=10,AC=6,求CO的长.

试卷第2页，共10页

4.已知：正方形A3CO中，ZMAN=45°,/M4N绕点A顺时针旋转，它的两边分别

交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,当/M4N绕点A旋转到=时(如

图1),易证BM+DN=MN.

(1)当NM4N绕点A旋转到时(如图2),线段8M,DN和MN之间有怎样的数

量关系？写出猜想，并加以证明.

(2)当ZMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量

关系？写出猜想并加以证明.

(3)图3中，若AB=3,MN=5,求_4皿的面积为

5.(1)如图1,点E在正方形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE,CE,EF1.AE,

以EF,EC为邻边作平行四边形ECGF,连接ED,EG,DG.

图1

①试猜想ED与£>G之间的位置关系为

②当4E=EF时，试探究与EG之间的数量关系并说明理由;

(2)如图2,点E在矩形43co内，且在对角线AC右侧，连接AE,CE,EFYAE,

3

以“，EC为邻边作平行四边形ECGF,连接皿EG,DG,当他0所‘且

AD:DC=3:2,求即：EG的值.

6.如图，45c和△£)口都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°.

(1)猜想：如图1,点E在BC上，点。在AC上，线段8E与A。的数量关系是,

位置关系是;

(2)探究：把△OCE绕点C旋转到如图2的位置，连接力£>,BE,(1)中的结论还成立

吗?说明理由；

(3)拓展：把△£)底绕点C在平面内自由旋转，若AC=3,CE=2,当A,E,D三点、

在同一直线上时，则AE的长是.

7.如图，.ABC和分别位于A8两侧，点E为A。中点，连接8E,CE.

图2图3

(1)如图1,若N54C=NAB£>=90°,AC=3,AB=BD=4,求CE的长；

(2)如图2,连接CO交A8于点F,在C/上取一点G使得FG=AF,若AC=4D,

BD=BF,ZB£>F=60°,猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

⑶如图3,是以A8为斜边的等腰直角三角形，若AB=4,BD=2,请直接写出

当2CE-取最大值时八4支的面积.

试卷第4页，共10页

8.如图，ABC和分别位于A8两侧，E为AO中点，连接SE,CE.

C

图2图3

(1)如图I,若N8AC=ZA8r>=90o,4C=3,A8=8O=4,求CE的长；

(2)如图2,连接C。交AB于点尸，在CF上取一点G使得FG=AF.若AC=A£>,

BD=BF,NBDF=6Q°.猜想BC与的之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

⑶如图3,4?C是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=4,BD=2,请直接写出

当2CE-AE取最大值时AACE的面积.

9.已知：ABC中，AB=AC,ZBAC=90。，直线AC上取一点D,连接8。，线段8。

绕点8逆时针旋转90。，得到线段双九连接CD交直线于G.

(1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段CG和线段。G的数量关系.于是他画了

图1所示当。在AC边上的时候的图形，并通过测量得到了线段CG与DG的数量关

系.你认为小捷的猜想是CGZ7G(填>,=,<中选一个).

(2)当。在月C边的延长线上时请你根据题目要求补全图2,

①并在你补全的图2中找出与N3£>C相等的角

②在图2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明

理由；

(3)如图3,当。在边AC的反向延长线上时，直接写出CA,CD,CQ'的数量关系(用等式

表示).

10.【问题发现】

(1)如图①，在正方形ABC。中，G是BC上一点(点G与B,C不重合)，AEA.DG

交DG于点E,CF工DG交DG于点F.试猜想线段AE,CF和EF之间的数量关系,

并证明；

【延伸探究】

(2)在其余条件不变的基础上延长AE,交DC于点、H,连接AG,BH,交于点P,

如图②.求证：AGVBH-,

【问题解决】

(3)如图③，是一块边长为1米的正方形钢板ABCD由于磨损，该钢板的顶点B,C,

。均不能使用，王师傅计划过点A裁出一个形如四边形AEGF的零件，其中点尸，E,

G分别在AB,CD,BC边上,且尸为AB的中点，GF_LGE交DC于点E,连接AE,

求王师傅能裁出四边形AEG尸的最大面积是多少？

11.已知，45c和；DEC都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1.D,

E分别在BC,AC边上，尸是BE的中点，连接CF.

图1

⑴求证：VACD^VBCE.

(2)请猜想AD与C尸的数量关系和位置关系，并说明理由.

(3)如图2,将..ABC固定不动，DEC由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角NBCD=a

(00<a<90°),旋转过程中，其他条件不变.试判断，与C尸的关系是否发生改变?

试卷第6页，共10页

若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论.

12.如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.

(l)ZACENBCD(填“或“=")；

⑵当N£>CE=15。时，求NACB的度数；

(3)猜想/ACB与/DCE的数量关系，并说明理由；

(4)将三角板ACO绕点C逆时针旋转一周，请章撰写出此时,ACE为多少度时，ZECD

与NACB的大小是二倍关系.

13.已知正方形ABC。，动点尸在48上运动，过点B作射线OP于点E,连接AE.

(1)如图1,在OE上取一点尸，使。连接AF,求证：AE=AF；

(2)如图2,点尸在AB延长线上，求证：BE+DE=6AE;

CD1

(3)如图3,若把正方形ABC。改为矩形ABCQ,且二K=不其他条件不变，请猜想。石,

AD2

跖和AE的数量关系，直接写出结论，不必证明.

14.综合与实践.

项目式学习小组研究了一个问题，如图1,在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,E,F

分别是AB,AE＞的中点，四边形AEG/是矩形，连接CG.

(1)请直接写出CG与DF的长度比为:

(2)如图2,将矩形AEG尸绕点A按顺时针方向旋转至点G落在边上，求点尸到AO

的距离；

(3)将矩形AEG/绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想CG与。尸之间

的数量关系，并证明你的猜想.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A&0)为x轴负半轴上一动点，等腰“ABC的底边

(2)如图2,在y轴负半轴上分别取点。和点E,连接8。，CD,BE,BE与CD交于点、

F,若BD=DE=AB,请猜想NB?C的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不

变，请求出/8FC的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作。交x轴于点G,连接AO,若AD=DF,

OA=^OG,请求出点A的坐标.

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16.如图1,在中，点。、E分别是A8,AC的中点，可以猜想：DE〃BC且

DE=-BC.

2

请根据教材内容，结合图1,写出证明过程.

【结论应用】

如图2,在,ABC中垂直于/ABC的平分线8E于点E,且交8c边于点。，点尸为

AC的中点.若A3=5,BC=9,求EF的长.

【拓展延伸】

如图3,在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=3,。为AC中点，将AD绕点A

逆时针旋转一定的角度以0。<a<360。)，得到线段AR,连结C。，取C0的中点E,

连结8E.则,8EC面积的最大值为.

17.在四边形ABC。中，AD//BC,点E在8c上，连接Af,AC,DE,AC与DE交

于点F,AE=AB,ZAE£)=ZC4B；

(1)如图1,求证：四边形ABC。是平行四边形;

(2)如图2,若NACB=45。，猜想A尸和BC之间的数量关系，并证明;

(3)如图3,在(2)的条件下，W为尸C中点，K为AB中点，E为8c的中点，连接WD,

WK,若WK=2JHJ,求收的长.

18.图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一.小华和小芳对等腰直角三角

形的旋转变换进行研究.如图（1）,已知和VADE均为等腰直角三角形，点

E分别在线段4B,AC上，KZC=ZAED=90°.

图⑴图⑵图⑶

⑴作的值一

（2）观察猜想：小华将VADE绕点A逆时针旋转，连接3DCE,如图（2）,当8。的延

长线恰好经过点E时,

①gg的值为.

CE

②NBEC的度数为度;

（3）类比探究如图（3）,小芳在小华的基础上，继续旋转VADE,连接33,CE,设8。

的延长线交CE于点F,请求出”的值及尸C的度数，并说明理由.

CE

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参考答案：

1.(1)AE=CF+EF,(3)王师傅能裁出四边形AEGF的最大面积是g平方米

4

2.(1)45°,y

八、AM1

(2)-=-,

BM3

_12

⑶M

3.例题：AC=