2023年江苏省宿迁市中考数学一模试卷(含解析)

2023年江苏省宿迁市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有

且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.-2的倒数是（）

A.-2B.--C.—D.2

22

2.下列运算正确的是（）

A.a2+a=a3B.(a2)3=a5C.a^-i-a1=a4D.a19a3=a5

3.如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.若/2=40°,则N1的度数是

C.40°D.30°

4.如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）

b^0cd

5.若圆柱的底面半径为3c/n,母线长为4c,“，则这个圆柱的侧面积为（）

A.12cm2B.24cm2C.12Ttem2D.24ira%2

（2x+7>4x+l

6.若关于x的不等式组《》的解集为x<3,则％的取值范围为（）

x-k<2

A.k>\B.A:<1C.k^\D.RW1

7.如图，在QABCQ中，用直尺和圆规作/BAO的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB

A.10B.8C.6D.4

8.如图，在矩形ABC。中，DC=3,AD=V3DOP是A。上一个动点，过点P作PGL4C,

A.—B.—C.3D.^3

42

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上）

9.若代数式汇I有意义，则实数x的取值范围是.

10.因式分解2a2-4a+2—.

11.若关于x的一元二次方程9+双-6=0的一个根是3,则。=.

12.一只口袋中装有若干个形状，大小都相同的球，使得从袋中摸一个球是红球的概率为

0.2,那么平均每摸100次能摸到个红球.

13.点尸（a,b）在函数y=3x+2的图象上，则代数式6a-244的值等于.

14.一个多边形的每个外角都相等，且是它相邻内角的卷，则此多边形是边形.

15.关于x的分式方程—■七/一=1的解为正数，则，〃的取值范围是_____.

x-11-x

16.如图，4B是半圆的直径，C、。是半圆上的两点，且NBAC=50°,AD^CD,贝（I/D4C

17.如图，A,B,C三点在正方形网格线的交点处，将AACB绕着点A逆时针旋转得到4

AC'B',若A,C,B/三点共线，则tan/B'CB=.

18.如图，已知双曲线丫也（乂＜0）和尸卫晨〉0），直线0A与双曲线y净交于点

XXX

A,将直线0A向下平移与双曲线y」艮交于点8,与），轴交于点P,与双曲线ynK交于

XX

点c,SAABC=9,BP：CP=2：1,则k的值为.

三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：2sin60°+（-^-）-2-|2-V3I-VI2.

22

20.先化简，再求值：（_2_必±生_@+2）+W其中满足a满足/-4〃=-3.

a-1l-a

21.某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况,

随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表：

组别成绩X分频数（人数）频率

第I组60«706a

第2组70«800.24

第3组804V9024

第4组90^x^100b0.16

请根据图表中所提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中a=,b=；

（2）补全条形统计图；

（3）本次调查结果的中位数在第小组;

（4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数.

22.2022年北京冬奥会成功举办，收到世界各国友人的一致赞扬，其中吉祥物“冰墩墩”

以萌萌的形象深受人们的喜爱.某商场“五一节”搞抽奖活动，奖品为红、白、蓝、绿

四种颜色的“冰墩墩”，每位顾客凭购物小票抽奖一次（决定奖品的颜色）.

（1）若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为；

（2）若含含也抽奖一次，请列表或画树状图，求含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的

概率.

.*

23.在Rt^ABC中，NBAC=90°,。是5c的中点，E是A。的中点，过点A作4尸〃

交8E的延长线于点尸.

（1）求证：AAEF^A£>£B；

（2）证明四边形AQCF是菱形.

24.图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的A8为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意

图.小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°,此时他的眼睛£>

与地面的距离AO=1.8m,之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（8乙〃MN）向正前方

走了2m,发现日光灯C刚好在他的正上方.已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4,AB的

长度是13M.（参考数据：sin370-0.6,cos37°g0.8,tan37°-0.75）

（1）求图中B到一楼地面的高度.

（2）求日光灯C到一楼地面的高度.（结果精确到十分位）

图(I)图⑵

25.如图，己知点C是以AB为直径的半圆上一点，。是AB延长线上一点，过点。作8。

的垂线交AC的延长线于点E,连结CD,且CO=ED.

（1）求证：8是。。的切线;

(2)若tan/DCE=2,BD=1,求。。的半径.

该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）

的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润卬（元）的三组对应值如表:

售价%（元/件）607080

周销售量y（件）1008060

周销售利润w（元）200024002400

（1）求y关于x的函数解析式;

（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值;

（3）由于某种原因，该商品进价提高了〃?元/件（加＞0）,物价部门规定该商品售价不

得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系.若

周销售最大利润是2000元，求m的值.

27.“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多

【问题提出】

（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证芸=绘.

PBBC

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”.

小红思路：关联”角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”.

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.

【作图应用】

(2)如图②，48是。。的弦，在。。上作出点P,使得空=3.

PB

要求：(1)用直尺和圆规作图；(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

【深度思考】

(3)如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC=3,BC=1,则△PAB的面积最大值

28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+bx+c与x轴交于点A和点8(1,0),与y

轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PO_Lx轴于点。，交AC于点E,过点E

作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点RG,设点尸的横坐标为根.

①求PE+MEG的最大值；

②连接DF、DG,若NF£»G=45°,求，〃的值.

(备用图)

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有

且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.-2的倒数是（）

A.-2B.--C.—D.2

22

【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答.

解：：-2X（卷）=L

•••-2的倒数是-《，

2

故选：B.

【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为

倒数.

2.下列运算正确的是（）

A.（r+a—a1B.（«2）3=/C.a^-i-a2—a4D.a2*a3=a5

【分析】直接利用合并同类项法则以及塞的乘方运算法则、同底数幕的乘法、除法运算

法则计算得出答案.

解：A.4+m不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；

B.（4）3=小，故此选项不合题意：

C.as^a2=a6,故此选项不合题意；

D.42.苏=/,故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及幕的乘方运算、同底数幕的乘法、除法运算法

则等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键.

3.如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.若N2=40°,则N1的度数是

A.60°B.50°C.40°D.30°

【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得N3的度数，然后求得N1的度数.

解：如图，

VZ2=50°,

.*.Z3=Z2=40o,

AZI=90°-40°=50°.

【点评】此题考查了平行线的性质.注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题

的关键.

4.如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）

A.—B,।।~|C,||||D.|~।।

【分析】根据几何体的三视图，即可解答.

解：根据图形可得主视图为：

■TT1

故选：D.

【点评】本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是画物体的三视图的口诀为：主、

俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等.

5.若圆柱的底面半径为3q小母线长为4a”，则这个圆柱的侧面积为（）

A.12cM2B.24c"2C.12-Rcm1D.24nc/n2

【分析】圆柱侧面积=底面周长X高.

解：根据侧面积公式可得：nX2X3X4=24TrcM,

故选：

【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的

侧面积=底面圆的周长X高.

‘2x+7>4x+l

6.若关于x的不等式组上的解集为x<3,则k的取值范围为（）

x-k<2

A.k>lB.k<lC.0D.

【分析】不等式整理后，由己知解集确定出人的范围即可.

f<3

解：不等式整理得：x/，

x<k+2

由不等式组的解集为x<3,

得到左的范围是火力1,

故选：C.

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7.如图，在。ABC。中，用直尺和圆规作的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB

=5,则AE的长为（）

A.10B.8C.6D.4

【分析】先求AB=BE=5,利用勾股定理求A”=E”=4,得4E=8.

解：；AG平分/BAD,

：.ZBAG=ZDAG,

•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZAEB=ZDAG,

：.ZBAG^ZAEB,

：.AB=BE=5,

由作图可知：AB=AF,

NBAE=ZFAE,

'：AH=AH

:.△BAH沿MFAH(SAS),

：.BH=FH=3,

：.BFLAE,

由勾股定理得：AH=yl52_32=4,

;AB=BE,BH±AE,

：.AH=EH=4,

.♦.AE=8,

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角

形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形，属于常考题型.

8.如图，在矩形A8C。中，OC=3,AD=V3DC-尸是4。上一个动点，过点尸作PGL4C,

垂足为G,连接8P,取BP中点E,连接EG,则线段EG的最小值为（）

A.总B.C.3D.-^3

【分析】取AP的中点F,连接后凡作G”,4。于，，作ETLGH于T,设AP=机，分

别表示出PG,PH,PF,EF,进而表示出ET和G7,进而表示出EG,进一步得出结果.

解：取AP的中点F,连接EF,作GHLAO于H,作ETLGH于T,设AP=〃?，

；四边形ABC。是矩形，

.".ZD=90°,AB=CD=3,

CD二CDJ

AtanZDAC=AD=V3CD=3

.•./£>AC=30°,

•JPGLAC,

：.PG=—AP=—m,NAPT=90°-Z£>AC=60°,

22

PH=PG•cosZAPG=、・cos60°=—m,GH=PG•sinZAPG=

24

■^in・sin600=~_ir,

•••E是8尸的中点,

121

・・・《/=与8=3,PF=—m,

222

：.GT=GH-HT=GH-EF=^-m-—,ET=FH=PF-P”=Lm」m』ir，

42244

在RtAEGT中,

2

EG2=G/+E/=(.^-m-—)+(2〃?)2=工(w-3V3_)2+_L,

4244216

.•.当机=3近时，EG的最小值为g,

24

【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质

等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形.

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上)

9.若代数式后T有意义，则实数x的取值范围是「口1.

【分析】根据二次根式有意义的条件得出x-120,再求出答案即可.

解：要使代数式后T有意义，必须x-120,

解得：工21.

故答案为：x21.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式4中是解此题的关键.

10.因式分解2a2-4〃+2=2(aT)2.

【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可.

解:2a2-4a+2

=2(a2-2a+l)

=2(a-I)2,

故答案为：2(a-1)2.

【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的

关键.

11.若关于x的一■元二次方程好+火-6=0的一个根是3,则a=-1.

【分析】直接把X=3代入方程/+狈-6=0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即

可.

解：把x=3代入方程T+av-6=0得9+3。-6=0,解得a=-l.

故答案为-1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

12.一只口袋中装有若干个形状，大小都相同的球，使得从袋中摸一个球是红球的概率为

0.2,那么平均每摸100次能摸到20个红球.

【分析】设平均每摸100次能摸到x个红球，根据概率公式得金•=0.2,解得x的值即

可.

解：设平均每摸100次能摸到x个红球，

解得x=20.

所以平均每摸100次能摸到20个红球.

故答案为：20.

【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13.点尸(«,b)在函数y=3x+2的图象上，则代数式6。-2/7+1的值等于-3.

【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a-b=-2,代入2(3a-b)+1即

可.

解：♦・♦点P(mb)在函数y=3x+2的图象上，

.*./?=3«+2,

则3a-b=-2.

/.6a-2/?+1=2（3。-8）+1=-4+1=-3,

故答案为-3.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数

关系式.

14.一个多边形的每个外角都相等，且是它相邻内角的，■,则此多边形是八边形.

【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180。，一个外角等于与它相邻的内

角的弓，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360。求

解即可.

解：设这个多边形的一个外角的度数为X。，则

X——(180-x),

3

解得：x=45,

3600+45°=8,

故此多边形为八边形，

故答案为：八.

【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意正确列出方程是解题的关键.

15.关于x的分式方程」V——=l的解为正数，则〃?的取值范围是加>2且.

【分析】方程两边同乘以X-1,化为整式方程，求得X,再列不等式得出机的取值范围.

解：方程两边同乘以x-1,得-3=x-l,

解得工=根-2,

分式方程一>T-=l的解为正数，

X-11-X

.\x=nt-2>0且x-1W0,

即m-2>0且次-2-120,

/.m>2且机W3,

故答案为机>2且机W3.

【点评】本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错

题，有点难度.

16.如图，AB是半圆的直径，C、。是半圆上的两点，且N8AC=50°,AD=CD,则ND4c

=20°.

a

AB

【分析】根据圆周角定理及已知可求得N3的度数，从而可求得NAQC的度数，再根据

三角形内角和公式即可求得ND4C的度数即可.

解：・・・AB是半圆。的直径，

AZACB=90°,

VZBAC=50°,

AZB=90°-50°=40°.

AZAZ)C=180°-40°=140°.

U：AD=DC.

：.ZDAC=ZDCA=―——=20°.

2

故答案为：20.

【点评】本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角

是解题的关键.

17.如图，A,B,C三点在正方形网格线的交点处，将△ACS绕着点A逆时针旋转得到4

ACB',若A,C,B'三点共线，则tanNB'CB=2.

【分析】过点8作BE,49于点E,设小正方形的边长为“，由图可知AB=4a,ZCAB

=45°,BE1AE,可得AE=BE=2&m即可得CE=&a,则可求tan/B'CB的值.

解：如图，过点B作3E_LA8于点E,设小正方形的边长为。，

・.・A8=4a,ZCAB=45°,BE上AE,

:.AE=BE=2y[^a,

•:AC=y[^a,

:.CE=AE-AC=yf2at

：.tanZB'Cfi=—=2)^a=2,

CE近a

故答案为：2

【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，添加恰当的辅助线构造直角三角形是

本题的关键.

18.如图，已知双曲线y」区（x<0）和丫=乂（、>0），直线0A与双曲线y工交于点

XXX

A,将直线0A向下平移与双曲线y3■交于点B,与），轴交于点P,与双曲线ynK交于

XX

Q

点C,SM6c=9,BP：CP=2：1,则左的值为.

----2~

【分析】连接。5,OC,作3E_L0P于E,CFIOP^F.根据OA〃8C,得至US4o8c=S

沙肥=9,根据已知条件得到SKPB=6,SAOPC=3,根据相似三角形的性质即可得到结论.

解：如图，连接。8,0C,作8EL0P于E,轴于E

-JOA//BC,

S^OBC-S^ABC=9,

♦：PB：PC=2：1,

:*S8OPB=6,SAOPC=3,

VSAOB£=yX18=9,

**.S^PBE=3,

♦:△BEPs^CFP,

12

•'•5ACF^=3X—

44

.o_o3_9

••'△OCF-3~~~~~~"r

44

故答案为：-

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三

角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：2sin60°+（-1）2-|2-731-712.

【分析】直接利用负整数指数基的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝

对值的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案.

解：原式=2X警4-2+遥-2愿

=73+4-2+73-273

=2.

【点评】本题主要考查了负整数指数幕的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数

值等知识，掌握运算法则是解题的关键.

22

20.先化简，再求值：（且二2Ql_a+2）a+4a+4,其中满足。满足标一而=-3.

a-11-a

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解方程求出。，根据分式有意义的条件确

定。的值，代入计算得到答案.

22

解：原式=(三二2a：4a-3a+2)..上生.

a-1a-l(a+2)2

_a+2__

a-1(a+2)2

_1

一

解方程。2-4。=-3,得“1=1,。2=3,

'：a-l#0,

.♦.aW1,

当a=3时，原式=-?胃=-±*.

3+25

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

21.某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况,

随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表：

组别成绩X分频数（人数）频率

第1组60«706a

第2组70^x<800.24

第3组80«9024

第4组90^x^100b0.16

请根据图表中所提供的信息回答下列问题：

（I）统计表中a=0.12,b=8；

（2）补全条形统计图：

（3）本次调查结果的中位数在第3小组;

（4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数.

【分析】（1）根据70Wx<80的频数和频率可以求得本次调查的学生数，从而可以得到

“和匕的值；

（2）根据（1）中的结果可以将统计图补充完整；

（3）根据中位数的定义即可求出中位数分布在哪一个分数段；

（4）利用1500乘以成绩不低于80分的频率即可求出答案.

解：（1）本次调查的学生有：12+0.24=50（人），

4=6+50=0.12,6=50X0.16=8,

故答案为：0.12,8；

（2）补全条形统计图如图:

（3）中位数在第25位和26位，

中位数在第3组80«90,

故答案为：3；

（4）1500X（—+0.16）=1500X0.64=960（人）.

50

答：估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的有960人.

【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键

是明确题意，利用数形结合的思想解答.

22.2022年北京冬奥会成功举办，收到世界各国友人的一致赞扬，其中吉祥物“冰墩墩”

以萌萌的形象深受人们的喜爱.某商场“五一节”搞抽奖活动，奖品为红、白、蓝、绿

四种颜色的“冰墩墩”，每位顾客凭购物小票抽奖一次（决定奖品的颜色）.

（1）若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为4-；

一4一

（2）若含含也抽奖一次，请列表或画树状图，求含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的

概率.

•八*，

4・

【分析】（1）直接利用概率公式计算即可.

（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的结果

数，再利用概率公式可得出答案.

解：（1）•••共有红、白、蓝、绿四种颜色，

花花凭购物小票抽奖一次‘她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为

故答案为：I

(2)画树状图如下:

共有16种等可能的结果，其中含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的结果有4种，

,含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率为±=义.

164

【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答

本题的关键.

23.在Rt^ABC中，NBAC=90。，。是BC的中点，E是AQ的中点，过点A作A尸〃BC

交BE的延长线于点F.

(1)求证：△AEFgADEB；

【分析】(1)根据A4S证△AFEgZUME；

(2)利用(1)中全等三角形的对应边相等得到AF=BD.结合已知条件，利用“有一

组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到AOCF是菱形，由“直角三角形斜边的

中线等于斜边的一半”得到AO=QC,从而得出结论.

【解答】证明：(1)：AF〃8C,

二ZAFE=NDBE,

是4。的中点，是BC边上的中线，

：.AE=DE,BD=CD,

在△4FE和△OBE中，

'/AFE=/DBE

«ZFEA=ZBED.

AE=DE

A/XAFE^/XDBE(AAS)；

（2）由（1）知，△AFEQXDBE,贝ljAF=£>&

'：DB=DC,

：.AF^CD.

,JAF//BC,

，四边形ADCF是平行四边形，

\-ZBAC=90°,。是BC的中点，E是A。的中点，

：.AD=DC^—BC,

2

二四边形AOCF是菱形.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，

主要考查学生的推理能力.

24.图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意

图.小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°,此时他的眼睛。

与地面的距离40=1.8"，之后他沿一楼扶梯到达顶端8后又沿BL（8L〃MN）向正前方

走了2山，发现日光灯C刚好在他的正上方.已知自动扶梯48的坡度为1：2.4,A8的

长度是13m.（参考数据:sin370g0.6,cos37°g0.8,tan37°^0.75）

（1）求图中B到一楼地面的高度.

（2）求日光灯C到一楼地面的高度.（结果精确到十分位）

图⑴图⑵

【分析】（1）过点B作于E,由坡度的定义和勾股定理求解即可；

（2）过点C作CFLMN于F交BL于G,过点。作D/LCF于1/交BE于，，则四边形

BEFG、四边形AD/F是矩形，求出AF=D/=14m,再由三角函数定义求出CJ=10.5成，

即可得出结果.

解：（1）过点B作于E,如图（2）所示：

设AE=xm,

♦；A8的坡度为1：2.4,

.BE_1

,•而一TT

5

：.BE=—xm,

12

在RtZVIBE中，由勾股定理得：f+(―x)』132,

12

解得：x=12,

.\AE=\2m,BE=5m,

答：B到一楼地面的高度为5见

(2)过点C作C7UMN于尸交或于G,过点D作DJLCF于J交BE于H,

则8G=2〃z,四边形8EFG、四边形AD/b是矩形，ZCDJ=37°,

:・EF=BG=2m,AD=FJ=\.SmfAF=DJ,

由(1)可知，AF=AE+EF=\2+2=14(“),

/.DJ=14小，

在RtZ\CDJ中，tan/CD/=Si=tan37°g0.75,

D.T

.\CJ^0.75DJ=0.75X14=10.5(w),

ACF=CJ+FJ=10.5+1.8=12.3(m),

答：日光灯C到一楼地面的高度约为12.3m.

图⑵

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度

坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

25.如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，。是48延长线上一点，过点。作

的垂线交AC的延长线于点E,连结C£>,且CO=ED

(1)求证：8是。。的切线；

(2)若tan/£»CE=2,BD=l,求。。的半径.

DB0H

【分析】(1)连接oc,由CD=DE,OC=OA,可得/£>CE=NE,ZOCA=ZOAC,

ffOEDLAD,可得/OAC+NE=90°,故可证N£>CO=90°,CO是。。的切线；

(2)连接8C,设。0的半径为x,由tanNOCE=2,可得含=2,从而可用x的代数工

表示DE和CD,再根据CD是。0的切线用切割线定理列方程,即可解得O。的半径.

解：(1)连接0C,如图：

DB0H

■:CD=DE,OC=OAf

：.ZDCE=ZE,ZOCA=ZOAC,

VEDIAD,

AZADE=90°,ZOAC+ZE=90°,

：.ZOCA-^ZDCE=90°,

：.ZDCO=90°,

:.OC_LCDf

・・・co是OO的切线；

(2)连接BC,如图：

DB0A

*：CD=DE,

：.ZDCE=ZEf

VtanZDCE=2,

tanE=2,

VEDIAD,

An

RtZ\ED4中，—=2,

ED

设G）。的半径为xf则0A=08=x,

・.・8拉=1,

：.AD=2x+\t

A2X+^=2

ED

ED=x+—=CD,

2

•.,CD是OO的切线，

：.CD2=BD>AD,

（x+—）2=1X（2x+l）,解得x=旦或x=-工（舍去），

222

。。的半径为日.

【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，

解题的关键是用切割线定理列方程.

26.某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）

的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：

售价X（元/件）607080

周销售量y（件）1008060

周销售利润w（元）200024002400

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；

（3）由于某种原因，该商品进价提高了杨元/件（〃?>0）,物价部门规定该商品售价不

得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系.若

周销售最大利润是2000兀，求m的值.

【分析】（1）依题意设丁=履+4解方程组即可得到结论；

(2)该商品进价是50-1000:100=40,设每周获得利润卬=(%-40)(-2x+220),

再利用二次函数的性质可得到结论；

(2)根据题意得，w=(X-40-/M)(-2r+220)=-2x2+(300+2成)x-8800-220m,

把x=70,w=2000代入函数解析式，解方程即可得到结论.

解：(1)依题意设旷=日+6,

60k+b=100

则有-

70k+b=80

(k=-2

解得:ib=220‘

所以y关于x的函数解析式为y=-2%+220；

(2)该商品进价是60-2000+100=40,

设每周获得利润为w元，

贝U有w=(x-40)(-21+220)=-2v+300x-8800=-2(x-75)2+2450,

...当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是2450元；

(3)根据题意得，卬=(x-40-w)(-21-+220)=-2JT+(300+2成)x-8800-220m,

V-2<0,对称轴x>75,

二抛物线的开口向下，

•.•xW70,二卬随x的增大而增大，

当x=70时,w.大=2000,

即-2X702+(300+2%)X70-8800-220加=2000,

解得：，77=5.

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题.注意：

数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商

品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值.

27.“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……

【问题提出】

(1)如图①，PC是△PA8的角平分线，求证空=娶.

PBBC

小明思路：关联”平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”.

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”.

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.

【作图应用】

（2）如图②，AB是。。的弦，在。。上作出点P,使得管=3.

要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

【深度思考】

（3）如图③，PC是△P4B的角平分线，若AC=3,BC=\,则△PAB的面积最大值是

【分析】⑴作3依于。，-E,山沁=江=匕得

△PBC±PB<D"BC・PF

噬嗡

（2）作A3的垂直平分线CD,交AB于E,交。。于D,作BE的垂直平分线MN,交

AB于M作射线交圆。于P,则点P就是求作的图形；

（3）作△APB的外角平分线皿交AB的延长线于。，可得芸宴，兽瓷■凸

PBBDPBBC3

从而求得C£>=3,即。。的半径为微，进一步得出结果.

【解答】（1）证明：如图1,

作CDLPB于D,作CE±PA于E,

•••PA是AP8的平分线，

：.CE=CD,

..'△PAC暴吴・PF,

SapbcyPB-CDyBC-PF

.PAAC

•"PB"BC1

(2)解：如图2,

①作AB的垂直平分线C£>,交AB于E,交。0于。，

②作8E的垂直平分线MN,交AB于M作射线ON,交圆。于尸,

则点P就是求作的图形；

(3)解：如图3,

作△4P8的外角平分线PD,交的延长线于。，

.PA_AD

••丽