2023年九年级中考数学复习　垂径定理的计算

微专题垂径定理的计算

【知识与方法】

在圆中求弦长和半径（直径），通常要用到垂径定理，构造直角三角形求解，其

基本模型如下：

图中有如卜-关系：

【例题简析】

【例1】如图，。。的直径AB=8,点P为0B的中点，过点P的弦CD与AB的

夹角NAPC=30°,求弦CD的长.

南I图）（例।答案图）

【解析】作OE±CD,连接0C.求得OE=1,CE=y/75,：.C])=2y/75.

【针对练习】

1.（2022•安徽）已知的半径为7,AB是。0的弦，点P在弦AB上.若

PA=4,PB=6,则0P的长为（）

A.EB.4C.y[23D.5

2.（2022•南充）如图，AB为。0的直径，弦CD_LAB于点E,OF±BC于点F,

ZB0F=65°,则NA0D为（）

A.70°B.65°C.50°D.45°

3.（2022•云南）如图，已知AB是。0的直径，CD是。0的弦，AB1CD,垂足

为E.若AB=26,CD=24,则N0CE的余弦值为（）

4.如图，0A为。0的半径，弦CB10A于点D,点D为0A的中点，若0A=

4,则CB=.

5.（2022•长沙）如图，A、B、C是。0上的点，0C1AB,垂足为点D,且D为

0C的中点，若0A=7,则BC的长为.

6.已知。。的半径为10cm,AB,CD是。0的两条弦，AB〃CD,AB=16cm,CD=

12cm,则弦AB和CD之间的距离为.

7.（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶，隋代建造的赵州桥距

今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图是根据某石拱桥的实物图

画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为一.桥的跨度（弧所对的弦

长）AB=26m,设―所在圆的圆心为0CLAB,垂足为，半径为D.拱高

（弧的中点到弦的距离）CD=5m,连接0B.求这座石拱桥主桥拱的半径（精确

到1m）.

O

（第7赎）

8.如图，AB为。0的直径，AB=13,弦AC=5,点D为BC的中点，求弦AD

的长.

9.如图，在4ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0交BC于点D,过点D作

00的切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交。0于点F.

（1）求证：DE1AC；

（2）若DE+EA=8,©0的半径为10,求AF的长度.

10.如图，00是4ABC的外接圆，AD是。0直径，BC与过点A的切线EF平

行.(1)求证：AB=AC；

(2)设AD,BC相交于点G,若DG=BC=16,求AB的长.

【答案简析】

1.D.

2.C.

3.B.

4.4c.

5.7.

6.2cm或14cm.

7.设主桥拱半径为R,由题意可知AB=26,CD=5,.,.BD=4B=13,

0D=0C-CD=R-5,

VZ0BD=90°,

.,.OD2+BD2=OB2,

A(R-5)2+132=R2,

解得R=19.4^19,

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.

8.连接BC,BD,0D,

BC与0D交于点E.则BC=12,

0E=2.5,

・・・BE=6,ED=4,阳虫)

ABD=2VI?

AAD=3VI?

9.(1)证明：VOB=OD,

.,.ZABC=ZODB,

VAB=AC,

，ZABC=ZACB,

/.ZODB=ZACB,

...OD〃AC.

VDE是00的切线，0D是半径，

ADEIOD,

/.DE±AC；

(2)如图，过点0作0H1AF于点H,则Z0DE=ZDEH=Z0HE=90°,

•••四边形ODEH是矩形，

.\OD=EH,OH=DE.

设AH=x.

VDE+AE=8,OD=10,

/.AE=10-x,0H=DE=8—(10—x)=x—2.在RtAAOH中，由勾股定理知:AH2

+0H2=0A2,即x2+(x—2)2=102,

解得x,=8,x2=—6（不合题意，舍去）.

.\AH=8.

VOH±AF,

1.AH=FH=3F,

.,.AF=2AH=2X8=16.

10.证明：VEF切。0于A,

/.0A±EF,Z0AF=90°,

又•.•EF〃BC,

/.Z0GC=Z0AF=90o,

AOAIBC,---=-----

/.AB=AC

2）连接OB,

V0G±BC,0G过圆心，

.,.BG=$C=gxi6=8,

设0B=x,