函数的表示方法分段函数及映射

函数的表示方法分段函数及映射第一页，共二十九页，编辑于2023年，星期日探究点1解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法优点:

①函数关系清楚、精确；②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质。解析法是中学研究函数的主要表达方法。第二页，共二十九页，编辑于2023年，星期日探究点2列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表、银行里的“利率表”等。

优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.第三页，共二十九页，编辑于2023年，星期日探究点3图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.如：一次函数y＝kx＋b(k＜0、b＞0)的图象是一条直线；yOx优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.第四页，共二十九页，编辑于2023年，星期日例1某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).x12345y510152025解：这个函数的定义域是数集｛1,2,3,4,5｝列表法表示如下：用图象法可将函数表示为右图：用解析法表示为函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、孤立的点等。第五页，共二十九页，编辑于2023年，星期日(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线)函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域.第六页，共二十九页，编辑于2023年，星期日第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6例2下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.测试序号成绩姓名第七页，共二十九页，编辑于2023年，星期日解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.这对我们的分析很有帮助.第八页，共二十九页，编辑于2023年，星期日作函数图象时应注意的事项:(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.提升总结第九页，共二十九页，编辑于2023年，星期日1.画出下列函数的图象:(1)(2)解：（1）（2）第十页，共二十九页，编辑于2023年，星期日在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同.画出函数的图象.

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123xy12345-1第十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期日探究点1分段函数（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；注意（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.第十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期日以下叙述正确的有（）(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，但它是一个函数.(3)若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2≠φ也能成立.（A）1个（B）2个（C）3个（D）0个C变式练习：第十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期日1.求分段函数的函数值：例1已知函数f(x)=x+2,(x≤－1)；x2,(－1＜x＜2)；2x,(x≥2).(2)若f(x)=3,求x的值.(1)求的值;解：（1）（2）第十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期日例3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.3.求分段函数的解析式第十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期日y=2,0<x≤53,5<x≤104,10<x≤155,15<x≤20解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x的取值范围是（0，20]由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如右图:y○2O51015201345x○○○第十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期日1.已知求的值.解：第十七页，共二十九页，编辑于2023年，星期日2.某质点在30s内运动速度vcm/s是时间t的函数,它的图象如右图，用解析式表示出这个函数.解:v(t)=t+10,(0≤t<5)3t,(5≤t＜10)30,(10≤t＜20)-3t+90,(20≤t≤30)30t/s10201030v/cm·s-1O1520255第十八页，共二十九页，编辑于2023年，星期日填写下图中的对应关系AB（1)相应国家的首都(2)求平方(3)乘以2

北京首尔中国韩国xxx2x2x一对一多对一一对一(1),(2),(3)的共同特征:集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应.X的首都112233－149AB－－123456123AB探究点2映射第十九页，共二十九页，编辑于2023年，星期日一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.映射的概念若对应是映射，必须满足两个条件：①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应.②A在B中所对应的元素是唯一的.注意第二十页，共二十九页，编辑于2023年，星期日因此还可以用映射的概念来定义函数：如果A、B是非空数集，那么A到B的映射f:A→B,就叫做A到B的函数，记作：y=f(x)函数是一种特殊的映射函数映射对应第二十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期日例4以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.是不是是是第二十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期日xxyyyy000022222222（A）1.（2012·西安高一检测）设A=[0,2],B=[1,2],在下列各图中，能表示f:A→B的函数是（）.Dxx（B）（C）（D）11111111第二十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期日2.判断下列对应是否为映射？abcefgabcdefgabcefgd是是不是第二十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期日3.判断下列对应是不是从A到B的映射：(1)A＝N，B＝N*，f：x→|x－2|；(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝(3)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝；解：（1）集合A中的元素2在对应关系下，B中没有元素与之对应，故不是映射.（2）A中元素6在对应关系下，B中没有元素与之对应，故不是映射.（3）是映射.第二十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期日4.(2011·泰安模拟)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费y元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)依题意得y=

14.4x,0≤x≤,20.4x-4.8,＜x≤,24x-9.6,x＞.第二十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期日(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈(0,)时，y≤f()＜26.4；当x∈(,)时，y≤f()＜26.4；当x∈(,+∞)时，令24x-9.6=26.4，得x=1.5.所以甲用户的用水量为5x=7.5(吨)，缴水费4×1.8+3.5×3=17.7(元)，乙用户用水量为3x=