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文档简介
几类不同增长的函数模型第一页,共四十六页,编辑于2023年,星期日3.2.1几类不同增长的函数模型
第二页,共四十六页,编辑于2023年,星期日目标要求1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长快慢.2.理解直线上升,对数增长,指数爆炸的含义.3.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题.4.培养对数学模型的应用意识.第三页,共四十六页,编辑于2023年,星期日热点提示
学习本节内容时,应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象,利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律,进而归纳总结出一般规律.熟练掌握这一规律后,还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.第四页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第五页,共四十六页,编辑于2023年,星期日1.三种函数模型的性质函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升第六页,共四十六页,编辑于2023年,星期日2.函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)增长速度的对比:(1)对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.(2)对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,尽管在x的一定范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn.第七页,共四十六页,编辑于2023年,星期日(3)在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn<ax.第八页,共四十六页,编辑于2023年,星期日●想一想:当0<a<1,n<0时,y=ax,y=xn,y=logax为减函数,其“衰减”速度如何?你能借助图象,类比分析吗?提示:如下图所示:对于函数y=ax(0<a<1),y=xn(n<0),y=logax(0<a<1)尽管都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在同一“档次”上,随着x的增大,y=ax(0<a<1)的衰减速度越来越慢,会远远小于y=xn(n<0)的衰减速度,而y=logax(0<a<1)的衰减速度则越来越快,因此总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax<xn<ax.第九页,共四十六页,编辑于2023年,星期日解析:指数函数模型增长速度最快,故选C.答案:C第十页,共四十六页,编辑于2023年,星期日2.右图所示的曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势?(
)A.一次函数B.幂函数C.对数函数D.指数函数答案:C第十一页,共四十六页,编辑于2023年,星期日3.三个变量y1,y2,y3,随着变量x的变化情况如下表:
则关于x分别呈对数函数,指数函数,幂函数变化的变量依次为(
)A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4第十二页,共四十六页,编辑于2023年,星期日解析:通过指数函数,对数函数,幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知:对数函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数函数的增长速度成倍增长,y2随x的变化符合此规律;幂函数的增长速度越来越快,y1随x的变化符合此规律,故选C.答案:C第十三页,共四十六页,编辑于2023年,星期日4.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:其中,关于x呈指数函数变化的函数是________.解析:从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1.答案:y1x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…第十四页,共四十六页,编辑于2023年,星期日5.下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表:x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y=2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y=x20.040.3611.963.244.846.76911.56…y=log2x-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…第十五页,共四十六页,编辑于2023年,星期日问(1)各函数随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?(2)各函数增长的快慢有什么不同?解:(1)随着x的增长,各函数的函数值都增大.(2)y=2x开始增长的速度较慢,但随着x的增大,y增长速度越来越快;y=x2增长速度平衡;y=log2x开始增长速度稍快,但随x增大,y增长速度越来越慢.第十六页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第十七页,共四十六页,编辑于2023年,星期日类型一线性函数模型应用题【例1】为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示.(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式;(2)请帮助用户计算:在一个月(30天)内使用哪种卡便宜?第十八页,共四十六页,编辑于2023年,星期日思路分析:由题目可知函数模型为直线型,可先用待定系数法求出解析式,然后再进行函数值大小的比较.第十九页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第二十页,共四十六页,编辑于2023年,星期日温馨提示:函数的图象是表示函数的三种方法之一,正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求.本题由于过原点的直线是正比例函数图象,因此运用了待定系数法求得一次函数解析式,然后利用函数解析式解决了实际问题.借助函数图象表达题目中的信息,读懂图象是关键.
本题关键是能根据实际情况,建立一次函数的数学模型,再利用方程或不等式使问题得以解决.第二十一页,共四十六页,编辑于2023年,星期日1某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅,现从甲、乙两商场了解到:同一类型餐桌报价每张200元,餐椅报价每把50元.甲商场称:每购买一张餐桌赠送一把餐椅;乙商场规定:所有餐桌椅均按报价的8.5折销售.那么,什么情况下到甲商场购买更优惠?第二十二页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第二十三页,共四十六页,编辑于2023年,星期日类型二二次函数模型应用题【例2】养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;(2)求鱼群年增长量的最大值;(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.思路分析:由题意写出函数关系式,利用配方法求得最大值,列不等式求k的范围.第二十四页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第二十五页,共四十六页,编辑于2023年,星期日温馨提示:这是一道二次函数的应用题,同时考查了正比例函数(一次函数).本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这些临时定义,使本题理解难度加大,因此,要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇,再找未知量之间的关系.在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,因为根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大、最小等问题.第二十六页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第二十七页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第二十八页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第二十九页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第三十页,共四十六页,编辑于2023年,星期日类型三指数函数、对数函数模型应用题【例3】
1999年1月6日,我国的第13亿个小公民在北京诞生,若今后能将人口年平均递增率控制在1%,经过x年后,我国人口数字为y(亿).(1)求y与x的函数关系y=f(x);(2)求函数y=f(x)的定义域;(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数?并指出在这里函数的增减有什么实际意义.第三十一页,共四十六页,编辑于2023年,星期日思路分析:递增率问题广泛存在于生产和生活中,研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一.这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义:递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率,切记并不总是只和开始单位时间内的值比较.具体分析问题时,应严格计算并写出前3~4个单位时间的具体值,通过观察、归纳出规律后,再推广概括为数学问题后求解.第三十二页,共四十六页,编辑于2023年,星期日解:(1)1999年人口数:13亿.经过1年,2000年人口数:13+13×1%=13(1+1%)(亿).经过2年,2001年人口数:13(1+1%)+13(1+1%)×1%=13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2(亿).经过3年,2002年人口数:13(1+1%)2+13(1+1%)2×1%=13(1+1%)3(亿).∴经过年数与(1+1%)的指数相同,∴经过x年人口数:13(1+1%)x(亿).∴y=f(x)=13(1+1%)x.第三十三页,共四十六页,编辑于2023年,星期日(2)理论上指数函数定义域为R.∵此问题以年作为单位时间,∴N*是此函数的定义域.(3)y=f(x)=13(1+1%)x是指数函数,∵1+1%>1,13>0,∴y=f(x)=13(1+1%)x是增函数,即只要递增率为正数时,随着时间的推移,人口的总数总在增长.第三十四页,共四十六页,编辑于2023年,星期日温馨提示:在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础为N,平均增长率为p,则对于时间x的产值y,可以用下面的公式y=N(1+p)x表示,解决平均增长率的问题,要用到这个函数式.
第三十五页,共四十六页,编辑于2023年,星期日递增率问题广泛存在于生产和生活中,研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一,这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义:递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率,切记并不总是只和开始单位时间内的值比较.具体分析问题时,应严格计算并写出前3~4个单位时间的具体值,通过观察、归纳出规律后,再推广概括为数学问题,然后,求解此数学问题.第三十六页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第三十七页,共四十六页,编辑于2023年,星期日第三十八页,共四十六页,编辑于2023年,星期日类型四不同函数模型增长趋势的比较【例4】函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如下图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出右图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2010),g(2010)的大小.第三十九页,共四十六页,编辑于2023年,星期日思路分析:(1)随着自变量x的增大,图象位于上方的函数是指数函数y=2x,另一个函数就是幂函数y=x3.解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10,∵x1<6<x2,2010>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),∴f(6)<g(6);当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2010)>g(2010).又∵g(2010)>g(6),∴f(2010)>g(2010)>g(6)>f(6).第四十页,共四十六页,编辑于2023年,星期日温馨提示:由指数函数、对数函数、幂函数的增长差异可以很容易地判断出哪个是指数函数的图象,哪个是幂函数的图象.解决此类题型的关键是了解“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数.第四十一页,共四十六页,编辑于2023年,星期日4函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如下图所示.(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).第四十二页,共四十六页,编辑于2023年,星期日解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当x<x1时,g
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