几类不同增长的函数模型

几类不同增长的函数模型第一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日3．2.1几类不同增长的函数模型

第二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日目标要求1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．2．理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义．3．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．4．培养对数学模型的应用意识.第三页，共四十六页，编辑于2023年，星期日热点提示

学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律．熟练掌握这一规律后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.第四页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第五页，共四十六页，编辑于2023年，星期日1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升第六页，共四十六页，编辑于2023年，星期日2.函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)增长速度的对比：(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.第七页，共四十六页，编辑于2023年，星期日(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn<ax.第八页，共四十六页，编辑于2023年，星期日●想一想：当0<a<1，n<0时，y＝ax，y＝xn，y＝logax为减函数，其“衰减”速度如何？你能借助图象，类比分析吗？提示：如下图所示：对于函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)尽管都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，y＝ax(0<a<1)的衰减速度越来越慢，会远远小于y＝xn(n<0)的衰减速度，而y＝logax(0<a<1)的衰减速度则越来越快，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.第九页，共四十六页，编辑于2023年，星期日解析：指数函数模型增长速度最快，故选C.答案：C第十页，共四十六页，编辑于2023年，星期日2.右图所示的曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势？(

)A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数答案：C第十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日3．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：

则关于x分别呈对数函数，指数函数，幂函数变化的变量依次为(

)A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4第十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日解析：通过指数函数，对数函数，幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知：对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.答案：C第十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期日4．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y1x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…第十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期日5．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y＝x20.040.3611.963.244.846.76911.56…y＝log2x－2.322－0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…第十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期日问(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随着x的增长，各函数的函数值都增大．(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢．第十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期日类型一线性函数模型应用题【例1】为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算：在一个月(30天)内使用哪种卡便宜？第十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期日思路分析：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．第十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第二十页，共四十六页，编辑于2023年，星期日温馨提示：函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．

本题关键是能根据实际情况，建立一次函数的数学模型，再利用方程或不等式使问题得以解决．第二十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日1某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一类型餐桌报价每张200元，餐椅报价每把50元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的8.5折销售．那么，什么情况下到甲商场购买更优惠？第二十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第二十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期日类型二二次函数模型应用题【例2】养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值，列不等式求k的范围．第二十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第二十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期日温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了正比例函数(一次函数)．本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．第二十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第二十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第二十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第二十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第三十页，共四十六页，编辑于2023年，星期日类型三指数函数、对数函数模型应用题【例3】

1999年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增减有什么实际意义．第三十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日思路分析：递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一．这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题后求解．第三十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日解：(1)1999年人口数：13亿．经过1年，2000年人口数：13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿)．经过2年，2001年人口数：13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)．经过3年，2002年人口数：13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(亿)．∴经过年数与(1＋1%)的指数相同，∴经过x年人口数：13(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.第三十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期日(2)理论上指数函数定义域为R.∵此问题以年作为单位时间，∴N*是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13(1＋1%)x是指数函数，∵1＋1%>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．第三十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期日温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值y，可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．

第三十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期日递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题．第三十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第三十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期日第三十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期日类型四不同函数模型增长趋势的比较【例4】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出右图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2010)，g(2010)的大小．第三十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期日思路分析：(1)随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10，∵x1<6<x2,2010>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)；当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2010)>g(2010)．又∵g(2010)>g(6)，∴f(2010)>g(2010)>g(6)>f(6)．第四十页，共四十六页，编辑于2023年，星期日温馨提示：由指数函数、对数函数、幂函数的增长差异可以很容易地判断出哪个是指数函数的图象，哪个是幂函数的图象．解决此类题型的关键是了解“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数．第四十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期日4函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如下图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．第四十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期日解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x<x1时，g