多项式插值与逼近

参数多项式插值与逼近3.1基本概念3.1.1插值(interpolation)与逼近(approximation)3.1.2多项式基讲到特殊的多项式基-----幂(单项式monomial)基3.1.2

数据点的参数化欲唯一的确定一条插值于n+1个点Pi(i=0,1,…,n)的参数插值曲线或逼近曲线，必须先给数据点Pi赋予相应的参数值Ui，使其形成一个严格递增的序列，称为关于参数u的一个分割(partition),其中，每个参数值称为节点（knot）或断点（breakpoint）1对于插值曲线而言，曲线上的这些数据点与参数域内的点构成一种对应关系。一组数据点决定一个参数分割，称为对数据点实行参数化(parametrization)对数据点实行参数化有如下方法：1.均匀参数化(等距参数化)法仅适合于数据点多边形各边（或称弦长）接近相等的场合。注意：即使数据点各弦长严格相等，也不表示插值曲线的参数化是均匀的，插值曲线的参数化与数据点的参数化有关，但不是一回事。2.积累弦长参数化(简称弦长参数化)法

其中，为向前差分矢量3.向心参数化法（平方根法）24.福利（Foley，1989）参数化法（修正弦长参数化法）有些看不懂3.2多项式插值曲线

当构造多项式插值曲线时，必须使曲线方程的待定系数矢量的个数等于给定的插值条件数即数据点数目。在构造顺序通过数据点Pi(i=0,1,…,n)的多项式插值曲线时，（1）若采用的多项式基为幂基时，得插值曲线方程为3

设已对数据点实行了参数化，决定了参数分割将参数值代入曲线方程，使之满足插值条件可将其写成矩阵的形式，也可以将插值曲线方程写成嵌套乘积的形式，这样便于编程，减少舍入误差。用此方法来构造插值曲线时，需要解线性方程组，当n很大时，系数矩阵呈现病态，此方法不可取4(2)拉格朗日多项式插值法是最古老的插值方法.参数形式的拉格朗日插值曲线方程为：其中，是拉格朗日基，它满足插值条件给定约束方程，其中的符号是克罗内克尔符号5拉格朗日基具有规范性，公式具有明显的规律性，数据点Pi在曲线方程中显示的出现，这些都是拉格朗日插值的优点，缺点在于数据点改变时，原来的数据不能使用，必须重新计算。（4）牛顿均差形式这里引入了另外一组基：1，u,(u-u0)*(u-u1)…..,矢量dj是数据点Pi的j阶均差矢量。（5）埃尔米特插值此方法不是对n+1个点及其导矢进行插值，而是在两个数据点P0、P1及其直到K阶的导矢之间进行插值有点不懂63.3最小二乘逼近

本节所讲的最小二乘逼近的分析方法与学过的理论相似，只是曲线的方程采用了基表示的参数多项式形式。

根据前几节的知识，对于给定数据点，可以选择适当的方法进行参数化，决定一个参数分割，然后根据插值曲线所满足的插值条件，就可以得到线性方程组(其中插值曲线的次数n小于数据点的数目m)K=0,1,…m相应的可以写成矩阵形式，由条件知，矢量方程的个数m+1大于未知矢量的个数n+1，这样的方程是超定的。一般情况下，方程的解不存在，即一般不存在严格依次通过这些数据点的曲线P(u),只能寻求在某种意义下最为接近这些数据点的参数多项式曲线来逼近曲线。7

通常，用逼近曲线上参数值为Uk的点P(Uk)与数据点Pk间距离的平方和

达到最小来刻划逼近的程度。下面就是根据求偏导来计算。由于输入比较麻烦，就不详细了83.4弗格森参数三次曲线

由于高次参数多项式曲线存在缺点，不适合用来插值，而低次多项式曲线又难以用来描述形状复杂的曲线。唯一的选择就是：将一段段低次曲线在满足一定的连接条件下逐段拼接起来。这样以分段(piecewise)方式定义的曲线称为组合(composite)曲线。3.4.1参数三次曲线方程

参数三次（parametriccubic）曲线，简称PC曲线，若采用幂基表示可见，曲线段是定义在规范参数域[0,1]上的。下面就需要确定四个系数矢量ai，进而确定曲线段方程。(3.1)9通常采用的方法是，规定曲线段两端点及其切矢。下面就将(3.1)式对t求导，并将t=0,1代入，得到如下方程可以写成矩阵的形式，可以求解出系数矢量。10将上式代入（3.1）得上式实际上是与标量形式的三次埃尔米特插值相对应的参数形式，即是定义在[0,1]上的参数三次埃尔米特插值。将上式中前两个矩阵相乘即可得四个混合函数(blendingfunctions)，也即三次埃尔米特基(3.5)113.4.2参数三次曲线的几何特征此部分内容有点模糊3.4.3三次埃尔米特插值的域变换

实践中，我们往往想得到任意参数域