第66讲随机概率古典概型与几何

第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型12)3A．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中B．A、B两名国际象棋选手将在一次比赛中对局，B胜C．在常温下，水蒸发

D．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8

g1．下列事件不是随机事件的是(

C解析：在任何温度下水都可以蒸发，因此“在常温下，4水蒸发”是必然事件，故选C.A

3

3．概率为5

B．频率为5C．频率为60

D．概率接近0.652．某人将一枚质地不均匀硬币连掷了1000次，正面朝上的情形出现了600次，若用A表示正面朝上这一事件，则事件A发生的(

B

)解析：抛掷一次即进行一次试验，抛掷

1000

次，正面向上600

次，即事件A

的频数为600，所以A

的频率为60010003＝5，故选B.63．某射击运动员射击命中9

环以上的概率为40%，射击中心用随机模拟的方法估计这名射击运动员三次射击中命中9

环以上两次的概率，先由计算器产生0～9

之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3

表示命中9

环以上，4,5,6,7,8,9表示没有命中9

环以上，再以每三个随机数为一组，代表三次射击结果，经随机模拟产生如下10

组随机数：431,257,392,023,551,488,731,752,534,989据此估计该运动员射击三次恰好有两次命中

9

环以上的概率为

.7解析：表示恰好两次命中

9

环以上的随机数组有：431,392,731，共三组，因此射击三次恰有两次命中9

环以上10的概率P＝

3

＝0.3.84．同时抛掷两个骰子一次，两点数和为6的概率为)A.536B.

5181C.91D.6(

A9解析：同时抛掷两个骰子一次，结果共有

36

种，其中点数之和为6

的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5

种，36所以所求概率为5

，故选A.105．在区间[－1,2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是

.11解析：由题意知正数的取值区间长度是2，总长度是3，2由几何概型的概率计算公式得所求概率为3.1213—

古典概型14【例1】甲、乙两校各有3

名教师报名支教，其中甲校2

男1

女，乙校1

男2

女．若从甲校和乙校报名的教师中各任选1

名，求选出的2

名教师性别相同的概率；若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析：(1)从甲校和乙校报名的教师中各选

1

名共有C1·C1＝9

种，其中选出的2

名教师性别相同，共C1C1＋C1·C13

3

2

1

1

219＝4

种结果，故所求事件的概率为P

＝4.6(2)从报名的6

名教师中任选2

名，共有C2＝15

种结果，其中选出的2

名教师来自同一学校有C2＋C2＝6

种结果，故3

3215

5所求事件的概率P

＝

6

＝2.15【拓展演练1】现有7

名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2

的物理成绩优秀，C1，C2

的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各一名，组成一个小组代表学校参加竞赛．求C1

被选中的概率；求A1

和B1

不全被选中的概率．16解析：(1)从

7

人中分别选出数学、物理、化学成绩优秀者各一名，共有

C1C1C1＝12

种，而

C

被选中，共有

C1C13

2

2

1

3

21

1＝6

种，故

C

被选中的概率

P

＝

612＝21.(2)用N

表示事件“A1，B1

不全被选中”，由于A1，B1全被选中共有

C1＝2

种，从而

A

，B

不全被选中共有

12－2

1

12＝10

种，故P(N)＝12＝610

5.17二 几何概型及计算【例

2】(1)如图，矩形

ABCD

中，点

E为边

CD的中点，若在矩形

ABCD内部随机取一个点

Q，则点

Q取自△ABE内部的概率等于(

)A.141C.122B.3D.318已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.圆

C

的圆心到直线

l

的距离为

；圆C

上任意一点A

到直线l

的距离小于2

的概率为

．(3)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往1单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于2，则周末去看1电影；若此点到圆心的距离小于4，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为

．19解析：(1)因为S△ABE2＝1|AB|·|BC|，S矩形＝|AB|·|BC|，则S△ABE点Q

取自△ABE

内部的概率P＝

S矩形1＝2，故选C.20(2)(ⅰ)圆心到直线的距离为

d＝

|－25|

＝5.32＋42(ⅱ)当圆C

上的点到直线l

的距离是2

时有两个点为点B

与点D，设过这两点的直线方程为4x＋3y＋a＝0，同时可得到圆心到直线4x＋3y＋a＝0

的距离为OC＝3.21又圆的半径为

r＝2

3，可得∠BOD＝60°，由图可知BD6点

A

在弧BD

上移动，弧长

l

＝

×

＝1

c6c

，圆周长为c，l

BD

1故

P(A)＝

c

＝6.22(3)设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－(1

2

1

22)π－(4)ππ13＝16.23【拓展演练2】(1)假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，求其等车时间不超过3分钟的概率为

.0≤x≤2(2)设不等式组0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(

)A.π4π－2B.2πC.6D.4－π424(3)如图，边长为2的正方形内有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入200粒芝麻，恰有60粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为(

)A.3

B.45

56

3C.5

D.225解析：(1)要使得等车的时间不超过3

分钟，即到达的时刻应该是下图中A

包含的时间点．故P＝A的长度S的长度＝103

＝0.3.26(2)题目中0≤x≤20≤y≤2表示的区域如图正方形所示，而动点D

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此P＝12×2－4π×222×2＝4－π4，故选D.27(3)随机向正方形内投入200

粒芝麻，恰有60

粒落入3阴影部分，则样本估计为

60

＝

，由此可以估计不规则图200

1023

6形的面积为10×2

＝5，故选C.28【例3】如图，A

地到火车站共有两条路径L1

和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：三 频率估计概率及应用29试估计40

分钟内不能赶到火车站的概率；分别求通过路径L1

和L2

所用的时间落在上表中各时间段内的频率；现甲、乙两人分别有40

分钟和50

分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．30解析：(1)由已知共调查了100

人，其中40

分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44

人，31用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1

的有60

人，选择L2

的有40

人，故由调查结果得频率为：32(3)A1，A2

分别表示甲选择L1

和L2

时，在40

分钟内赶到火车站；B1，B2

分别表示乙选择L1

和L2

时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6；P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，则P(A1)>P(A2)，故甲应选择L1；因为P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，则P(B2)＞P(B1)，所以乙应选择L2.33【拓展演练3】某年某省有23万多文科考生参加高考，除去成绩为670分(含670分)以上的6人与成绩350分(不含350分)以下的38390人，还有约19.4万文科考生的成绩集中在

[350,670)内，其成绩的频率分布如下表所示：34请估计该次高考成绩在[350,670)内文科考生的平均分(精确到0.1)；考生A

填报志愿后，得知另外有4

名同分数考生也填报了该志愿．若该志愿计划录取2

人，并在同分数考生中随机录取，求考生A

被该志愿录取的概率．(参考数据：610×0.061

＋570×0.154

＋530×0.193

＋490×0.183＋450×0.161＋410×0.133＝443.93)35解析：(1)由所给的数据估计该年该省文科考生成绩在[350,670)内的平均分为650×0.007

＋

610×0.061

＋

570×0.154

＋

530×0.193

＋490×0.183

＋

450×0.161

＋

410×0.133

＋

370×0.108

＝488.44≈488.4.36(2)设另外4

名考生分别为b、c、d、e，则基本事件有：(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)．考生A

被录取的事件有(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)共4

种，4所以考生A

被录取的概率是P＝10＝0.4.37381.(2013·重庆卷)如图是某公司

10

个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为()A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6B39解析：由茎叶图10

个原始数据，数据落在区间[22,30)4内的共有4

个，则数据落在区间[22,30)内的概率为10＝0.4，40故选B.2.(2013·江西卷)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B

中A.231C.131B.2D.6各取任意一个数，则这两数之和等于

4

的概率是(

C

)41解析：从A，B

中各取任意一个数共有2×3＝6

种取法，而两数之和为

4

的有(2,2)，(3,1)两种取法，故所求的概率为2

16＝3.故选C.42A.161C.234B.3D.53.(2012·辽宁卷)在长为

12

cm

的线段

AB

上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段

AC，CB

的长，则该矩形面积小于

32

cm2

的概率为(

C

)43解析：设线段AC

的长为x

cm，则线段CB

的长为(12－x)cm，那么矩形的面积为x(12－x)cm2，由x(12－x)<32，解得x<4或x>8，又0<x<12，32所以该矩形面积小于32

cm2

的概率为，故选C.444.(2013·陕西卷)如图，在矩形区域ABCD

的A，C

两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE

和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()454.(2013·陕西卷)如图，在矩形区域ABCD

的A，C

两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE

和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(

A

)A．1－π

B

π－14

.2C