高中数学 直线、平面、简单几何课时-17教材素材

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精直线和平面复习（一）

教学目标1．配合系统复习，进一步培养空间想象力；2．借助平面几何中，三角形的重心、垂心、内心、外心等知识,解决立体几何问题．教学重点和难点1．空间想象力的培养；2．分析问题能力与综合运用知识能力的培养．教学设计过程师：同学们已经很好地完成了知识总结的作业，有些同学还将知识的内在联系用图表展示出来．也有的同学将各种位置关系用图形语言和符号语言进行归纳和整理．在此一并提出表扬．我们将把这些总结用展板展示,请同学们互相学习．师：本节课我们将通过一组问题来进行复习．复习的目的之一是进一步培养同学们的空间想象力．关于空间想象力的问题，在高一年级刚开始时，单纯的想象占主导地位，随着一个学期的学习,关于线面的各种位置关系及性质研究的深入，单纯的想象力就转化为：在线面各种位置关系的定义、性质定理指导下的想象．请先看下面一组题目：填空题：1．空间三个平面可能将空间分成______部分．2．正方体各个面所在的平面将空间分成______部分．3．与空间四个点距离相等的平面有______个．*4．A，B，C，D是空间不共面的四点．它们到平面α的距离比（依次）为:2∶1∶1∶1，满足条件的平面α有＿＿个．生：第1题空间三个平面可能将空间分成4或6或7或8部分．师：请你画图说明你的观点．生：（作图）师:很好，图1、图2、图3、图4依次表示三个平面将空间分成4，6，7，8部分．生：第2题答案是27．师:你给同学们解释一下，答案为什么是27．生：(手拿一个粉笔盒）这个粉笔盒近似看成一个正方体，它的上底面与下底之间被分成9部分．同样,上底面上边与下底面下面也各被分成9部分．总计正方体各个面所在的平面将空间分成27部分．师：对于第3小题，需要先证明下面的命题:线段AB与平面α相交，若AB中点C在平面α上,则点A、点B到平面α的距离相等．生A:本题的答案为4，因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面,根据老师刚介绍的引理,可以证明这样的截面符合条件．(如图5）生B：还有一种情况．刚才生A所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧，另外一个点在另一侧．我想所作平面两侧各有2个点．如图6．这类平面共有3个，即V,A两点在平面同侧;V，B两点在平面同侧；V,C两点在平面同侧．师：刚才两名同学讲的都很好,相互补充，符合条件的平面共有7个．同学们有不同意见吗?……师:刚才两名同学都认为已知四个点不共面，事实上，当这四个点共面时，符合题目要求的平面有无数个．只要与四点所在平面平行的平面都符合要求．生：老师，如果这四个点共线呢？师：当四个点共线时，只要与这条直线平行的平面均符合条件，这个题目的正确答案应该是7个或无数个．分类讨论的方法不仅在代数课上使用，几何学中也经常使用，此题就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论．我们继续讨论第4题．生:我认为仿照第3小题的解答,可提出下面引理：若点A、点B师：他的猜测是正确的．这个命题的正确性请同学们课下论证．下面我们讨论第4小题的解法．生A：分别延长AB,AC，AD至B1，C1，D1，使BB1=AB,CC1=AC，DD1=AD,如图7，则平面α就是平面B1C1D1．生B：分别在AB，AC,AD上取点B′，C′，D′，使得：师：分别取BC,CD，DA的中点E，F，G．那么经过EG的任何一个平面都满足：它与B，C,D三点的距离相等，在这些平面中，经过点B′或经过C′D′（因为C′D′∥CD∥GE)的平面符合题目要求．(图8）经过EG有两个平面符合题意．同样，经过EF，FG各有两个平面符合题意，综合以上分析共有8个平面符合题目要求．师:问题5．是否存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形？请同学们思考．……生A：我找到一个几何体，它的三个面都是直角三角形．如图

9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°．生B：我曾经证过生A所给的图中，△ABC是锐角三角形．师:根据两名同学的发言，给我们以下启示：三个面是直角三角形的几个体已经找到;三个直角顶点不能是同一个点！构造∠VAB=∠VAC=90°，且∠BAC≠90°．再构造∠ACB=90°，同学们不难证明∠VCB=90°．生:是根据三垂线定理．师：空间想象力在不同时期有不同要求．上面这个问题如果是高一第一学期开始让同学们作，那就只有想象或动手制做模型．现在解决它，可以借助我们所学的线面位置关系去寻找解决问题的方法，并且在想象结束时，论证想象的合理性．师；如图11，正方体ABCD—A1B1C1D1，P,Q，R分别在C1D1，CC1，AB上．画出截面PQR与正方体各面的交线．由公理知：PQ面DC1．因为面AB1∥面DC1，截面与它们相交，交线必平行（根据面面平行的性质定理）．过点R在面AB1中作PQ平行线交AA1于S．PQ交DC于T，TR交BC于E,连结EQ,过S作SF∥EQ交A1D1于F，连FP，则多边形PQERSF的边就是截面PQR与正方体各面的交线．师：同学们请看下面一组题：6．从平面外一点向平面引垂线和斜线，若斜线与平面所成的角都相等，垂足是斜足多边形的______心．7．直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6，BC=8，△ABC所在平面外一点P，PA=PB=PC=13，点P到△ABC所在平面的距离为______．生:垂足是斜足多边形的外心，因为从平面外一点向平面引斜线．它们与平面所成角相等，可以得到它们的长相等，它们在平面内的射影长也相等．师：同学们还可以进一步思考,满足什么条件时，垂足是斜足多边形的内心？垂足有没有可能成为斜足多边形的重心?垂心?做完一道题目之后,不要满足于题目的本身，能够将条件、结论变换后的有关命题进行研究，可达到事半功倍，提高能力的效果．师：根据已知条件,第7小题中，点P在△ABC所在平面上的射影恰为△ABC的外心．由于△ABC是直角三角形，所以由点P引平面ABC的垂线，垂足恰为△ABC斜边AB的中点，你们知道了解题思路吗?生:作PD⊥面ABC于D，由PA=PB=PC,得DA=DB=DC,D是△ABC外心．又因为∠ACB=90°，由平面几何知识，得出D为AB的中点．PA=13，AD=5,PD=12．即点P到平面ABC的距离为12．师:三角形的垂心、内心、外心、重心的知识在立体几何中经常使用．有一些题目本身没有明确给出，如第7小题，恰到好处地运用四心有关的知识,可简化解题过程．下面一道题目也是与三角形的“心”有关的问题．8．如图13，正△ABC边长为a，O为外心，PO⊥面ABC，PA=PB=PC=b，D，E分别为AC，AB的中点，且PA∥面DEFG．求：四边形DEFG的面积．由题设我们能得到哪些有用的结论？生A：因为PA∥面EFGD，由线面平行的性质可得：EF∥PA，GD∥PA，所以EF∥DG．由D，E分别是AB，AC的中点，DE∥BC，所以BC∥面DEFG．进一步得出BC∥FG．综上DEFG是平行四边形．能求出平行四边形DEFG的面积．师：到目前为止，已知条件中还有两条没有发挥作用．①等边△ABC;②O为△ABC的外心，生C:当O为等边三角形外心时,它也是等边△ABC的垂心．即BC⊥AO，又PO⊥面ABC，由三垂线定理知：BC⊥PA．已经证明了EF∥PA，BC∥DE,得出EF⊥