2024届高考数学一轮复习 第三章 重难专攻（三）函数零点问题 课件（37张PPT）

重难专攻（三）函数零点问题利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等结构的函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路：（1）可转化为利用导数研究其函数的图象与x轴（或直线y＝k）在该区间上的交点问题；（2）证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f（a）·f（b）＜0.数形结合法研究函数的零点【例1】已知函数f（x）＝xex＋ex，讨论函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点个数.解函数f（x）的定义域为R，且f'（x）＝（x＋2）ex，所以当x∈（－∞，－2）时，f'（x）＜0，f（x）在（－∞，－2）上为减函数，当x∈（－2，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（－2，＋∞）上为增函数，

令f（x）＝0，得x＝－1，当x＜－1时，f（x）＜0；

当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞，【卡壳点】极限思想的应用根据以上信息，画出f（x）大致图象如图所示.【易错点】忽视图象过点（0，1）函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点个数即为y＝f（x）的图象与直线y＝a的交点个数.∴关于函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点个数有如下结论：

｜解题技法｜

含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围.⁠

若函数f（x）＝ex（x2－2x＋1－a）－x恒有2个零点，求a的取值范围.

函数性质法研究函数的零点

（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；

（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围.

｜解题技法｜

利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.⁠

2.已知函数h（x）＝x2＋4－4（xsinx＋cosx），试证明h（x）在R上有且仅有三个零点.证明：h（x）＝x2＋4－4xsin

x－4cos

x，∵h（－x）＝x2＋4－4xsin

x－4cos

x＝h（x），∴h（x）为偶函数.又∵h（0）＝0，∴x＝0为函数h（x）的零点.下面讨论h（x）在（0，＋∞）上的零点个数.h（x）＝x2＋4－4xsin

x－4cos

x＝x（x－4sin

x）＋4（1－cos

x）.当x∈[4，＋∞）时，x－4sin

x＞0，4（1－cos

x）≥0，∴h（x）＞0，∴h（x）无零点；

构造函数法研究函数的零点

｜解题技法｜

涉及函数的零点（方程的根）问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.⁠1.已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2lnx，若方程f（x）＝g（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.

⁠

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围.

2.已知函数f（x）＝ex－lnx＋2sinα.证明：函数f（x）无零点.

3.已知函数f（x）＝ex－ax.（1）若a＝e，求函数y＝f（x）的零点个数；解：（1）当a＝e时，f（x）＝ex－ex，f'（x）＝ex－e，令f'（x）＝0，得x＝1.当x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）在x＝1时取得极小值f（1）＝0，也是最小值.又x→－∞时，f（x）→＋∞；x→＋∞时，f（x）→＋∞.所以a＝e时函数y＝f（x）有且仅有1个零点.（2）若a≤1，对于任意x≥0，求证：f（x）≥2－cosx.解：（2）证明：令g（x）＝f（x）＋cos

x－2，即g（x）＝ex－ax＋cos

x－2，则g'（x）＝ex－sin

x－a，g'（0）＝1－a，g（0）＝0.当a≤1时，g'（0）≥0，令h（x）＝g'（x）＝ex－sin

x－a，则h'（x）＝ex－cos

x，由x≥0，得h'（x）＝ex－cos

x≥1－cos

x≥0，故h（x）＝g'（x）在[0，＋∞）上单调递增，则g'（x）≥g'（0）＝1－a≥0，所以g（x）在x≥0时单调递增，故g（x）≥g（0）＝0，所以f（x）≥2－cos

x成立.

（1）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求实数a的值；

（2）讨论函数g（x）＝f'（x）－x的零点个数.

画出函数h（x）的草图，如图所示，易得h（x）≤h（1）＝1，并且图象无限靠近于原点，且当x→＋∞时，h（x）→－∞，故当a＞1时，函数g（x）无零点；当a＝1或a≤0时，函数g（x）只有一个零点；当0＜a＜1时，函数g（x）有两个零点.5.已知函数f（x）＝xex－ax－alnx＋a，若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围.

t（0，e2）e2（e2，＋∞）g'（t）＋0－g（t）单调递增单调递减

（1）讨论f（x）的单调性；

当0＜a＜1时，令f'（x）＜0，得a＜x＜1，令f'（x）＞0，得0＜x＜a或x＞1，∴f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.当a＝1时，f'（x）≥0，