2023年北京市高考理科数学试题及答案2

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)

第I卷选择题供40分)

本大题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的4个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1,集合P={XWZ|04X<3},M={X€/?|X249},那么PM=

(A){1,2}(B){0,1,2}(C]{x|0<x<3}(D]{x|0<x<3)

2,在等比数列{%}中,q=l,公比假设1a2%。4as，那么，〃=

(A)9(B)10(C)11(D)12

3,一个长方体去掉一个小长方体，所得集

合体的正(主)视图与侧(左)视图分别如

右图所示，那么该几何体的俯视图为

4,8名学

⑻

(D)

5,极坐标方程3-1)(6-幻=0(夕20)表示的图形是

(A)两个圆(B)两条直线

(C)一个圆和一条射线(D)一条直线和一条射线

6,。力为非零向量，是''函数/(x)=(m+勿・(x6-a)为一次函数”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

'x+y-ll>0

7,设不等式组3x-y+320表示的平面区域为D,假设指数函数y="的图象上存

5x-3y+9<0

在区域D上的点，那么a的取值范围是

(A)(1,3](B)[2,3](O(1,21(D)[3,+oo)

8,如图，正方体43CO-A8cA的棱长

为2,动点E,F在棱A区上，动点P,Q

分别在棱A£),CD上，假设EFULAEUMOQUNQPMZ(x,y,z大于零)，那么四面

体PEFQ的体积

(A)与％,y,z都有关

(B)与x有关，与y,z无关

(C)与y有关，与羽z无关

(D)与z有关，与无关

第II卷(共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。

10,在AABC中，假设b=l,c=G,NC=&^,那么

3

频率/组距

11,从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单

0.035\................।--------1

位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由图'।.....

中数据可知a=.假设要从身高在

[120,130),[130,140),[140,150)三组内的学生中，用分层抽。。2。.....................

样的方法选取18人参加一项活动，那么从身高在

[140,150]内的学生中选取的人数应为_______.

005

12,如图，。的弦即,C8的延长线交于点A,假设0(___L

BD±AE,AB=4,BC=2,AD=3,那么夕《----'/'取身高

DE=;CE=(\-O

13,双曲线的离心率为2,焦点与椭圆

22

三+汇=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为;

259

渐近线方程为.

14,如图放置的边长为1的正方形A48c沿x轴滚动，

设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=/(x),那么函数/(x)的

最小正周期为；y=f(x)在其两个相邻零点间的图

象与x轴所围区域的面积为.

说明：“正方形以8c沿x轴滚动”包括沿x轴正方向、/________.

OIA

和沿X轴负方向滚动.沿X轴正方向滚动指的是先以顶

点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在X轴上时，再以

顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形沿x轴负方向滚动.

三、解答题。本大题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15,(本小题共13分)

函数/(x)=2cos2x+sin2x-4cosx,

⑴求y(g的值;

(II)求/(X)的最大值和最小值.

16,(本小题共14分)

如图，正方形ABCD和四边形ACE尸所在的平面互相垂直，CE1AC,EF//AC,

AB=6,CE=EF=l.

(1)求证：A/〃平面瓦)£；

⑵求证：C「_L平面比)E；

(3)求二面角A—5E—。的大小.

17,(本小题共13分)

某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取

得的优秀成绩的概率为±，第二、第三门课程取得优

5

秀成绩的概率分别为〃，式p>幻，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记J为该生

取得优秀成绩的课程数，其分布列为

0123

P6ab24

725?25

⑴求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;

⑵求p,q的值；

⑶求数学期望

18,(本小题共13分)

2

函A=(al,a2,...,an),B=(bl,h2,...,h„)&Sn^(/(x)=ln(l+x)-x+|x(A:>0).

(1)当k=2,求曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)求/(x)的单调区间.

19,〔本小题共14分)

在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点0对称，P是动点，且直线钎与8P

的斜率之积等于-L

3

⑴求动点P的轨迹方程；

(2)设直线AP和分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得与APMV

的面积相等？假设存在，求出点P的坐标：假设不存在，说明理由.

20,(本小题共13分)

集合S"={X|X=(x„x2,...,xn),xie{0,1},z=1,2，…,n\(n>2).对于，定义A与B的差为:

A-B=(|q-可，|出~b2\，…,-2|)；

A与8之间的距离为d(A,B)=为q-用.

1=1

⑴证明：VA,B,CeS“，有A-8eS“，且d(4-C,8-C)="(A,B)；

(2)证明：VAB,CeS„,"(A,8)/(A,C),"(8,C)三个数中至少有一个是偶数;

设PqS〃，P中有皿m之2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为2(P).证明:

Z(P”nm

2(/?t-1)

参考答案

一，选择题

BC.C.A.C.B.A.D.

二、填2s空题

9,(-1,1).

10,lo

11,7T+\0.030,3

12,5,

13,(±4,。)，y=±Gx

14,4,

三、解答题

15(I)/(—)=2cos—+sin2--4cos—=-l+—-2=--.

333344

/(x)=2(2cos2x-l)+(l-cos2x)-4cosx

=3cos2x-4cosx-l

⑵297

=3(cosx--)2--R

27

因为COSX£[-1川,所以当cosx=-l时，/(x)取最大值6;当COSX=§时，取最小值一§o

16

证明：⑴设AC与BD交于点G,因为EFIIAG,且EF=1,

AG=-AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形。所以AFIIEG。

2

因为EGuP平面BDE,AF.平面BDE,所以AFII平面BDE。

(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,

且CE_LAC,所以CE_LAC,所以CEJ■平面ABCD。如图，以

C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。那么C(0,0,0),

A(&,VI,0),D〔6,0,0),E[0,0,1),

F(―,立，1)。所以CF=(也，—,1),BE=

2222

(0,一也,1),DE=1―6,0,1)。所以=

0-1+1=0,C尸•£>£1=-1+0+1=0。所以CF_LBE,CF±DE,所以CF_L平面BDE

(Ill)由(II)知，。户=(巫，立，1),是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的

22

法向量〃=(x,y,z),那么〃出,力，n-BE=O^

刖(x,y,z)•(0,0,0)=0

即〈L

(x,y,z).(0,-V2,l)=0

所以x=0,且z=J^y。令y=l,那么z=正。所以n=(0,1,右),从而cos(n,CF)

nCF也

=HM=T

TT

因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为一。

6

17解：事件A,表示“该生第i门课程取得优异成绩"，i=l,2,3。由题意可知

(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件"J=0”是对立的，所以该生至

少有一门课程取得优秀成绩的概率是

(II)由题意可知，

32

整理得pq=—=—。

(III)由题意知，

18解：(I)当左=2时，/(x)=ln(l+x)-x+x2,f\x)=-----l+2x.

1+x

由于/⑴=ln(2),/⑴=|,所以曲线丁=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为

y=ln2=g(x—1)。即3x-2y+21n2-3=0

(11)/'(1)=J.+)_D,XG(_1,+8).当6=0时,f\x)=---.

1+x1+x

因此在区间(-1,0)上，/,(x)>o；在区间(0,田)上，/,(x)<0；

所以/(X)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,”)；

当0<%<1时，f'(x)=M"+D=0,Wx,=0,^=—>0;

1+xk

\-bI-k

因此，在区间(-1,0)和(——,+8)上，/'(x)>0；在区间(0,——)上，/'(x)<0；

kk

即函数/(x)的单调递增区间为(-1,0)W(―,+=0),单调递减区间为(0,上X)；

kk

2

当％=1时，/'(X)=出,fM的递增区间为(T+00)

、x(kx+k-l)l-k

当4>1时，由/(力=-7-----=°=0,^=——€(-1,0)；

1+X，得K

因此，在区间（-1,上勺和（0,+＜»）上，/1（x）＞0,在区间（上±0）上，/,（x）＜0；

kk

即函数f（x）的单调递增区间为（一1，1）和（0,也），单调递减区间为（一，°）。

19,解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1,-1）。

设P点坐标为（《A,那么"a="，软户=告，由题意得廿.告=一：，

化简得：/+39=4,*片±1）。即p点轨迹为：d+3y2=4,（xx±l）

(2)因NAPB=NMPN,可得sinNAP3=sinNA7PN,

又S®B=；|%||P8|sinNAPB,SAM/w=g|PM||/WkinNMPN,

假设SWB=S,MN,那么有|PA||P8|=|PM|PN],即高=需.

设P点坐标为（x。，%）,那么有：号号=¥号解得：％=（,又因片+34=4,解得

%=±丁。

故存在点P使得A/V由与APMN的面积相等，此时P点坐标为

20,解：(1)设A=(q,%,％8=(々也,…也),C=(q,C2q,)eS„

因4，"e{0,l},故B-4|W{0,1},=

即A-B=(|q—耳,㈤一仇|,.“M

又“也,qw{0,1},i=1,2,...,九

当q=。时，有M-q|T4-C』=旧一可.

当q=1