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第二十八章锐角三角函数测试1锐角三角函数定义学习要求理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义.能依据锐角三角函数的定义,求给定锐角的三角函数值.课堂学习检测一、填空题1.如图所示,B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点,BC⊥AM于C点,B′C′⊥AM于C′点,则△B'AC′∽______,从而,又可得①______,即在Rt△ABC中(∠C=90°),当∠A确定时,它的______与______的比是一个______值;②______,即在Rt△ABC中(∠C=90°),当∠A确定时,它的______与______的比也是一个______;③______,即在Rt△ABC中(∠C=90°),当∠A确定时,它的______与______的比还是一个______.第1题图2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.第2题图①=______, =______;②=______, =______;③=______, =______.3.因为对于锐角的每一个确定的值,sin、cos、tan分别都有____________与它______,所以sin、cos、tan都是____________.又称为的____________.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=9,b=12,则c=______,sinA=______,cosA=______,tanA=______,sinB=______,cosB=______,tanB=______.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=1,b=3,则c=______,sinA=______,cosA=______,tanA=______,sinB=______,cosB=______,tanB=______.6.在Rt△ABC中,∠B=90°,若a=16,c=30,则b=______,sinA=______,cosA=______,tanA=______,sinC=______,cosC=______,tanC=______.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°,则∠B=______,sinA=______,cosA=______,tanA=______,sinB=______,cosB=______,tanB=______.二、解答题8.已知:如图,Rt△TNM中,∠TMN=90°,MR⊥TN于R点,TN=4,MN=3.求:sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR.9.已知Rt△ABC中,求AC、AB和cosB.综合、运用、诊断10.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°.D是AC边上一点,DE⊥AB于E点.DE∶AE=1∶2.求:sinB、cosB、tanB.11.已知:如图,⊙O的半径OA=16cm,OC⊥AB于C点,求:AB及OC的长.一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角.2.初步了解锐角三角函数的一些性质.课堂学习检测一、填空题1.填表.锐角30°45°60°sincostan二、解答题2.求下列各式的值.(1)(2)tan30°-sin60°·sin30°(3)cos45°+3tan30°+cos30°+2sin60°-2tan45°(4)3.求适合下列条件的锐角.(1) (2)(3) (4)4.用计算器求三角函数值(精确到0.001).(1)sin23°=______; (2)tan54°53′40″=______.5.用计算器求锐角(精确到1″).(1)若cos=0.6536,则=______;(2)若tan(2+10°31′7″)=1.7515,则=______.综合、运用、诊断6.已知:如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于E,BE=16cm,求此菱形的周长.7.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5.求:sin∠ACB的值.8.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA至D点,使AD=AB.求:(1)∠D及∠DBC;(2)tanD及tan∠DBC;(3)请用类似的方法,求tan22.5°.9.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,,作∠DAC=30°,AD交CB于D点,求:(1)∠BAD;(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD.10.CAD、cos∠CAD、tan∠CAD.拓展、探究、思考11.已知:如图,∠AOB=90°,AO=OB,C、D是上的两点,∠AOD>∠AOC,求证:(1)0<sin∠AOC<sin∠AOD<1;(2)1>cos∠AOC>cos∠AOD>0;(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______;(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______.12.已知:如图,CA⊥AO,E、F是AC上的两点,∠AOF>∠AOE.(1)求证:tan∠AOF>tan∠AOE;(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______.13.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,求证:(1)sin2A+cos2(2)14.化简:(其中0°<<90°)15.(1)通过计算(可用计算器),比较下列各对数的大小,并提出你的猜想:①sin30°______2sin15°cos15°; ②sin36°______2sin18°cos18°;③sin45°______2sin22.5°cos22.5°; ④sin60°______2sin30°cos30°;⑤sin80°______2sin40°cos40°; ⑥sin90°______2sin45°cos45°.猜想:若0°<≤45°,则sin2______2sincos.(2)已知:如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=2.请根据图中的提示,利用面积方法验证你的结论.16.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,交AD于H点.在底边BC保持不变的情况下,当高AD变长或变短时,△ABC和△HBC的面积的积S△ABC·S△HBC的值是否随着变化?请说明你的理由.测试3解直角三角形(一)学习要求理解解直角三角形的意义,掌握解直角三角形的四种基本类型.课堂学习检测一、填空题1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示):在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,第1题图①三边之间的等量关系:__________________________________.②两锐角之间的关系:__________________________________.③边与角之间的关系:______; _______;_____; ______.④直角三角形中成比例的线段(如图所示).第④小题图在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D.CD2=_________;AC2=_________;BC2=_________;AC·BC=_________.⑤直角三角形的主要线段(如图所示).第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________,斜边的中点是_________.若r是Rt△ABC(∠C=90°)的内切圆半径,则r=_________=_________.⑥直角三角形的面积公式.在Rt△ABC中,∠C=90°,S△ABC=_________.(答案不唯一)2.关于直角三角形的可解条件,在直角三角形的六个元素中,除直角外,只要再知道_________(其中至少_________),这个三角形的形状、大小就可以确定下来.解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)3.填写下表:已知条件解法一条边和斜边c和锐角∠A∠B=______,a=______,b=______一个锐角直角边a和锐角∠A∠B=______,b=______,c=______两条边两条直角边a和bc=______,由______求∠A,∠B=______直角边a和斜边cb=______,由______求∠A,∠B=______二、解答题4.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)已知:a=35,,求∠A、∠B,b;(2)已知:,,求∠A、∠B,c;(3)已知:,,求a、b;(4)已知:求a、c;(5)已知:∠A=60°,△ABC的面积求a、b、c及∠B.综合、运用、诊断5.已知:如图,在半径为R的⊙O中,∠AOB=2,OC⊥AB于C点.(1)求弦AB的长及弦心距;(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn.6.如图所示,图①中,一栋旧楼房由于防火设施较差,想要在侧面墙外修建一外部楼梯,由地面到二楼,再从二楼到三楼,共两段(图②中AB、BC两段),其中CC′=BB′=3.2m.结合图中所给的信息,求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m).(参考数据:sin30°=0.50,cos30°≈0.87,sin35°≈0.57,cos35°≈0.82)7.如图所示,某公司入口处原有三级台阶,每级台阶高为20cm,台阶面的宽为30cm,为了方便残疾人士,拟将台阶改为坡角为12°的斜坡,设原台阶的起点为A,斜坡的起点为C,求AC的长度(精确到1cm).拓展、探究、思考8.如图所示,甲楼在乙楼的西面,它们的设计高度是若干层,每层高均为3m,冬天太阳光与水平面的夹角为30°.(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层,且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上,那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制,甲楼和乙楼的距离BD=21m,若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上,那么设计甲楼时,最高应建几层?9.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英同学离A地多少距离?10.已知:如图,在高2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)测试4解直角三角形(二)学习要求能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形.课堂学习检测1.已知:如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,AC=10cm.求AB及BC的长.2.已知:如图,Rt△ABC中,∠D=90°,∠B=45°,∠ACD=60°.BC=10cm.求AD的长.3.已知:如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=135°,AC=10cm.求AB及BC的长.4.已知:如图,Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,∠BDC=60°,BC=6cm.求AD的长.综合、运用、诊断5.已知:如图,河旁有一座小山,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°,测得岸边点D的俯角为45°,又知河宽CD为50m.现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号).6.已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A处测得灯塔M在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B处,测得灯塔M在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里,)7.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°,∠DAE=45°.点D到地面的垂直距离,求点B到地面的垂直距离BC.8.已知:如图,小明准备测量学校旗杆AB的高度,当他发现斜坡正对着太阳时,旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上,测得水平地面上的影长BC=20m,斜坡坡面上的影长CD=8m,太阳光线AD与水平地面成26°角,斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°,求旗杆AB的高度(精确到1m).9.已知:如图,在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m,到达一个景点B,再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C,如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°.求山高CD(精确到0.01米).10.已知:如图,小明准备用如下方法测量路灯的高度:他走到路灯旁的一个地方,竖起一根2m长的竹竿,测得竹竿影长为1m,他沿着影子的方向,又向远处走出两根竹竿的长度,他又竖起竹竿,测得影长正好为2m.问路灯高度为多少米?11.已知:如图,在一次越野比赛中,运动员从营地A出发,沿北偏东60°方向走了500到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m,到达目的地C点.求(1)A、C两地之间的距离;(2)确定目的地C在营地A的什么方向?12.已知:如图,在1998年特大洪水时期,要加固全长为10000m的河堤.大堤高5m,坝顶宽4m,迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形.现要将大堤加高1m,背水坡坡度改为1∶1.5.已知坝顶宽不变,求大坝横截面面积增加了多少平方米,完成工程需多少立方米的土石?拓展、探究、思考13.已知:如图,在△ABC中,AB=c,AC=b,锐角∠A=.(1)BC的长;(2)△ABC的面积.14.已知:如图,在△ABC中,AC=b,BC=a,锐角∠A=,∠B=.(1)求AB的长;(2)求证:15.已知:如图,在Rt△ADC中,∠D=90°,∠A=,∠CBD=,AB=a.用含a及、的三角函数的式子表示CD的长.16.已知:△ABC中,∠A=30°,AC=10,,求AB的长.17.已知:四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于E点,AC=a,BD=b,∠BEC=(0°<<90°),求此四边形的面积.测试5综合测试1.计算.(1) (2)2.已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AB=32,BC=12.求:sin∠ACD及AD的长.3.已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,AB=2m,BD=m-1,(1)用含m的代数式表示BC;(2)求m的值;4.已知:如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=6,BE=2EC,DM⊥AE于M点.求DM的长.5.已知:如图,四边形ABCD中,∠A=45°,∠C=90°,∠ABD=75°,∠DBC=30°,AB=2a.求BC6.已知:如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,.AB=3,求BC的长.7.已知:如图,△ABC内接于⊙O,BC=m,锐角∠A=,(1)求⊙O的半径R;(2)求△ABC的面积的最大值.8.已知:如图,矩形纸片ABCD中,BC=m,将矩形的一角沿过点B的直线折叠,使A点落在DC边上,落点记为A′,折痕交AD于E,若∠A′BE=.求证:

答案与提示第二十八章锐角三角函数测试11.△BAC,AB,AC′.①,对边,斜边,固定;②,邻边,斜边,固定值;③,对边,邻边,固定值.2.①∠A的对边,∠B的对边,②∠A的邻边,∠B的邻边,③∠A的对边,∠B的邻边,3.唯一确定的值,对应,的函数,锐角三角函数.4.5.6.7.8.9.10.11.AB=2AC=2AO·sin∠AOC=24cm,12.13.(1)CD=AC·sinA=4cm;(2)(3)14.15.(1) (2)(3) (4)(5) (6)16.P(cos,sin),C(1,tan).提示:作PD⊥x轴于D点.17.(1)(2)提示:作AE⊥BC于E,设AP=2.

测试21.锐角30°45°60°sincostan12.(1)0;(2)(3)(4)3.(1)=60°;(2)=30°;(3)22.5°;(4)46°.4.(1)0.391;(2)1.423.5.(1)49°11'11″;(2)24°52'44″.6.104cm.提示:设DE=12xcm,则得AD=13xcm,AE=5xcm.利用BE=16cm.列方程8x=16.解得x=2.7.提示:作BD⊥CA延长线于D点.8.(1)∠D=15°,∠DBC=75°;(2)(3)9.(1)15°;(2)10.提示:作DE∥BA,交AC于E点,或延长AD至F,使DF=AD,连结CF.11.提示:作CE⊥OA于E,作DF⊥OA于F.(3)增大,(4)减小.12.(2)增大.13.提示:利用锐角三角函数定义证.14.原式15.(1)①~⑥略.sin2=2sincos.(2)∴sin2=2sincos.16.不发生改变,设∠BAC=2,BC=2m,则测试31.①a2+b2=c2;②∠A+∠B=90°;③④AD·BD,AD·AB,BD·BA,AB·CD:⑤一半,它的外心,(或)⑥或(h为斜边上的高)或或或(r为内切圆半径)2.两个元素,有一个是边,直角边,一条直角边,斜边,一条直角边.3.90°-∠A,sinA,cosA;4.(1)∠A=45°,∠B=45°,b=35;(2)∠A=60°,∠B=30°,c=4;(3)(4)(5)5.(1)AB=2R·sin,OC=R·cos;(2)6.AB≈6.40米,BC≈5.61米,AB+BC≈12.0米.7.约为222cm.8.(1)米.(2)4层,提示:设甲楼应建x层则9.10.6米.测试41.2.cm.3.提示:作CD⊥AB延长线于D点.4.cm.5.山高6.约为27.3海里.7..8.约为17m,提示:分别延长AD、BC,设交点为E,作DF⊥CE于F点.9.约477.13m.10.10m.11.(1)AC=1000m; (2)C点在A点的北偏东30°方向上.12.面积增加24m2,需用240000m13.(1)提示:作CD⊥AB于D点,则CD=b·sin,AD=b·cos.再利用BC2=CD2+DB2的关系,求出BC.(2)14.(1)AB=b·cos+a·cos.提示:作CD⊥AB于D点.(2)提示:由bsin=CD=asin可得bsin=asin,从而.15.提示:AB=AD-BD=CDtan(90°-)-CDtan(90°-)=CD〔tan(90°-)-tan(90°-)〕,或16.或提示:AB边上的高CD的垂足D点可能在AB边上(这时AB=,也可能在AB边的延长线上(这时).17.测试51.(1)(2)2.3.(1)或(2)4.5..提示:作BE⊥AD于E点.6.BC=6.提示:分别延长AB、DC,设它们交于E点.7.(1)提示:作⊙O的直径BA',连结A'C.(2)提示:当A点在优弧BC上且AO⊥BC时,△ABC有面积的最大值.8.提示:第二十八章锐角三角函数全章测试一、选择题1.Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=4,则AC的长为()A.6 B. C. D.2.⊙O的半径为R,若∠AOB=,则弦AB的长为()A. B.2Rsin C. D.Rsin3.△ABC中,若AB=6,BC=8,∠B=120°,则△ABC的面积为()A. B.12 C. D.4.若某人沿倾斜角为的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是()A. B.100sinm C. D.100cosm5.铁路路基的横断面是一个等腰梯形,若腰的坡度为2∶3,顶宽为3m,路基高为4m,则路基的下底宽应为()A.15m B.12m C.9m D.7m6.P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B点,若∠APB=2,⊙O的半径为R,则AB的长为()A. B. C. D.7.在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,若CB=a,∠B=,则AD等于()A.asin2 B.acos2 C.asincos D.asintan8.已知:如图,AB是⊙O的直径,弦AD、BC相交于P点,那么的值为()A.sin∠APC B.cos∠APC C.tan∠APC D.9.如图所示,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m,测得旗杆的仰角∠ECA为30°,旗杆底部的俯角∠ECB为45°,那么,旗杆AB的高度是()第9题图A. B.C. D.10.如图所示,要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m,四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用()第10题图A.l1 B.l2 C.l3 D.l二、填空题11.在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,若D是AC边中点,则tan∠DBC的值为______.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=10,若△ABC的面积为,则∠A=______度.13.如图所示,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8,AC⊥CD,若则cos∠ADC=______.第13题图14.如图所示,有一圆弧形桥拱,拱的跨度,拱形的半径R=30m,则拱形的弧长为______.第14题图15.如图所示,半径为r的圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动,当⊙O的移动到与AC边相切时,OA的长为______.第15题图三、解答题16.已知:如图,AB=52m,∠DAB=43°,∠CAB=40°,求大楼上的避雷针CD的长.(精确到0.01m)17.已知:如图,在距旗杆25m的A处,用测角仪测得旗杆顶点C的仰角为30°,已知测角仪AB的高为1.5m,求旗杆CD的高(精确到0.1m).18.已知:如图,△ABC中,AC=

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