2023年高二年级上册数学选择性必修一：圆的一般方程

2023年高二上数学选择性必修一：圆的一般方程

一、基础巩固

1.圆(x+l)2+O3)2=2化为一般方程是()

A./+)2=6

BJC2+/+8=0

Cjc2+y2-2r+8_y+6=0

D,X2+>,2+2X-6>,+8=0

ggD

2.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是()

A.RB.(-oo,l)C.(-oo,l]D.[l,+oo)

ggl6+4-4x5左>0,解得k<\.

IgB

3.过/(0,0),8(1,1),。(4,2)三点的圆的一般方程是()

A.x2+/+8x+6j^=0

B.X2+/-8X-6J/=0

Cjr2+/+8x-6y=0

D.x2+^2-8x+6y=0

|解析：|设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.0为/(0,0),8(1,1),C(4,2)三点在圆上，则

F=0,(D=-8,

D+E+F+2=0,解得E=6,故所求圆的一般方程是x2+/_8x+6y=0.

4D+2E+F+20=0,{F=0,

答案:|D

4.若点P（l,l）在圆x2+y2+2x+4y+a=0外，则a的取值范围是（）

A.aV-8B.Q-8

C.-8<a<5D.av-8或a>5

解桐由已知可得［竟#：解得-8<a<5.

--------（。十Q>U,

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答案:|c

5.在△48C中,若顶点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹

方程是()

A.x2+y2=3B.x2+y2=4

C.x2+/=9()^0)D.X2+/=9(X#0)

解近］由题意知线段8c的中点为。(0,0),由于为定长3,所以点/在以。为圆心,3为

半径的圆上.由于点Z为"BC的一个顶点，所以点/与点3,C不共线.故选C.

ggc

6.若方程x^+Dx+Ey+F^表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆，则F=.

——伤=2，

解析:由题意知｛\

"=-4,

•:。=-4,E=8.

・・D24-E2-4F(-4)2+82-4F,

•*9=-4—=—；—=416，

.：F=4.

7.圆x2+4x+y2=0关于歹轴对称的圆的一般方程是.

解析：|已知圆的圆心为。(-2,0),半径尸=2,点。关于^轴的对称点为。(2,0),则已知圆关于

y轴对称的圆的方程为(工-2)2+/=4,即x2+y2-4x=0.

国都2+/一4》=0

8.已知动点M到点/(-4,0)的距离是它到点8(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程

是.

解析：|设动点〃的坐标为(x,y),则1=21MB|,

即J(x+40+y2=2y/(x-2)2+y2,

整理得x2+y_8x=0.

故所求动点M的轨迹方程为x2+/-8x=0.

|答案:卜2+y2-8x=0

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9.判断下列方程是否表示圆，若是，将其化成标准方程：

(l>2+/+2x+l=0;

(2)x2+^2+2ay-l=0;

(3>2+/+20X+121=0;

(4)x2+y2+2ax=0.

回⑴原方程可化为(》+1)2+产=0,它表示点(/,0),不表示圆.

⑵原方程可化为12+&+4)2=〃2+],它表示圆心为半径为+1的圆，标准方程为

/+8+〃)2=。2+]

⑶原方程可化为(x+10)2+/=-21v0,即方程不表示任何曲线，故不能表示圆.

(4)原方程可化为(x+a)2+y2=q2

①当a=0时，方程表示点(-a,0),不表示圆；

②当40时，方程表示以(-a,0)为圆心，半径为⑷的圆，标准方程为(1+。)2+产=次.

10.求过三点力。5)4(1,-2),。(-3,-4)的圆的方程.

解|设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因为点A,B,C在圆上，把它们的坐标依次代入上面的方程,整理得到关于D,E,F的三元一

'5E+F+25=0,(D=6,

次方程组D-2E+F+5=0,解这个方程组，得卜=-2,

3D+4F-F-25=0,{F=-15.

于是得到所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.

二、能力提升

1.已知直线3x+4y-24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径为

()

A.3B.4C.5D.6

ggc

2.当a为任意实数时，直线(a-l)x-y+a+l=0恒过定点C,则以。为圆心泮径为遥

的圆的方程为()

A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+^2+2x+4y=0

CJC2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0

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函令片0q=1,得方程组｛：；；；：/'

解得忧亡'

所以定点。的坐标为(-1,2).

则圆C的方程为(x+l)2+(y-2)2=5,

即x2+y2+2x-4y=0.

ggc

★3.若直线/:ax+如+1=0始终平分圆M-jc2+y2+4x+2y+1=0的周长，则(a-2)2+(b-2)2的最

小值为()

A.V5B.5C.2V5D.10

解析:!由题意得直线/过圆心

则-2a-6+l=0,即b=-2a+\.

所以(a-2)2+S-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=542+525,

所以(公2)2+(人2)2的最小值为5.

ggB

4.已知点/(1,2)在圆x2+y2+2r+3y+/M=0内，则m的取值范围是.

gg由题意知或+^+2xl+3x2+m<°，解得加</3.

------12,+3-4m>0,

答案:卜8,-13)

5.若使圆^+y1+2x+ay-a-n=^a为实数)的面积最小，则a=.

|解析由已知得圆的半径:

r=+a2-4(-a-12)=^V4+a2+4a+48=+2>+48,

所以当a=-2时,min=1V48=2V3,

即此时圆的面积最小.

福-2

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6.点P是圆C:x2+y2_4x+2yJ1=0上的任一点的中点是M试求动点M的轨迹方程.

函设M(x,y),由已知得圆心C(2,-l),则P(2x-2,2y+l).

又点P在圆C:x2+y2-4x+2y-l1=0上，

所以动点M■的轨迹方程为

(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2j+1)-11=0,

即x2+y2-4x+2y+1=0.

★7.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),求它的外

接圆的方程.

回由题意知等腰三•角形顶点的坐标是(0,±5).

当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,

(25+5E+F=0,(D=°,

则16-4D+F=0,解之，得

(16+4D+F=0,(F=品

所以外接圆的方程是x2