单调性最大值与最小值

下一页引入课题前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据前面学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题.5.4.2单调性、最大值与最小值正弦函数、余弦函数的单调性5.4.2单调性、最大值与最小值由于正弦函数、余弦函数都是周期函数，因此讨论他们的单调性可以在一个周期的区间（如[，]上讨论其单调性，在利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域。5.4.2单调性、最大值与最小值5.4.2单调性、最大值与最小值正弦函数的单调性

y=sinx(xR)增区间为[，]其值从-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0………-1010-1减区间为[，]其值从1减至-1？？？[

+2k,

+2k],kZ[

+2k,

+2k],kZ5.4.2单调性、最大值与最小值余弦函数的单调性

y=cosx(xR)

x

cosx-

……0…

…-1010-1增区间为其值从-1增至1[

+2k,

2k],kZ减区间为，

其值从1减至-1[2k,

2k+],kZyxo--1234-2-315.4.2单调性、最大值与最小值知识点1.正弦函数的单调性单调递增单调递减2.余弦函数的单调性在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都

，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都

，其值从1减小到－1..单调递增单调递减注意点：(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限；(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间；(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.5.4.2单调性、最大值与最小值利用单调性比较大小5.4.2单调性、最大值与最小值例题解析例1利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(2)cos1，sin1；(3)sin164°与cos110°.例题解析例1利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(2)cos1，sin1；(3)sin164°与cos110°.

(3）sin164°＝sin(180°－16°)＝sin16°，cos110°＝cos(90°＋20°)＝－sin20°.所以－sin20°<sin16°，即cos110°<sin164°.【悟】比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数..(2)利用诱导公式把已知角转化到

同一单调区间上.(3)利用函数的单调性比较大小.5.4.2单调性、最大值与最小值【练1】(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是

A.sinα<sinβ B.cosα<sinβC.cosα<cosβ D.cosα>cosβ(2)下列关系式中正确的是

A.sin11°<sin168°<cos10°

B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<cos10°<sin168°

D.sin168°<cos10°<sin11解(1)因为α，β是锐角三角形的两个内角，√5.4.2单调性、最大值与最小值【练1】(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是

A.sinα<sinβ

B.cosα<sinβC.cosα<cosβ

D.cosα>cosβ(2)下列关系式中正确的是

A.sin11°<sin168°<cos10°

B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<cos10°<sin168°

D.sin168°<cos10°<sin11√解（2）因为sin168°＝sin12°，cos10°＝sin80°，所以sin11°<sin12°<sin80°，所以只需比较sin11°，sin12°，sin80°的大小.即sin11°<sin168°<cos10°.√5.4.2单调性、最大值与最小值求正弦函数、余弦函数的单调区间5.4.2单调性、最大值与最小值例题解析例题解析5.4.2单调性、最大值与最小值【悟】求正弦、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的

单调区间.(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常

数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，

应采用复合函数“同增异减”策略，求单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，

且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上.5.4.2单调性、最大值与最小值5.4.2单调性、最大值与最小值正弦函数、余弦函数的最值（值域）5.4.2单调性、最大值与最小值5.4.2单调性、最大值与最小值我们在研究函数的单调性时，发现不管是正弦函数，还是余弦函数，它们的函数值的变化要么是从－1变化到1，要么是从1变化到－1，于是我们得到了正弦函数和余弦函数的最大值和最小值.知识点5.4.2单调性、最大值与最小值2.余弦函数：当且仅当x＝

(k∈Z)时取得最大值1；

当且仅当x＝____

(k∈Z)时取得最小值－1.2kπ2kπ+π例题解析5.4.2单调性、最大值与最小值【悟】三角函数的值域(最值)问题的求解方法形如y＝Asinx(或y＝Acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论.(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)

型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得

sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，再求得值域

(最值).(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元

思想,设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asinx(或y＝Acosx)

型的函数求值.5.4.2单调性、最大值与最小值课堂